Comparación de 2 conjuntos y el operador "+" en la teoría de conjuntos

Question

Me gustaría que me aclararan una duda que tengo sobre la teoría de conjuntos.

La pregunta dice:

Supongamos que $X$ , $Y$ y $Z$ son conjuntos: ¿Tiene $X \times (Y +Z)=(X\times Y)+(X\times Z)$ (Donde $\times$ es el operador del producto cartesiano)?

Ahora, la respuesta ya está dada como:

$$X \times (Y+Z) = \{(x,(y,0))\mid x \in X, y \in Y\} \cup \{(x, (z,1)) \mid x \in X, z \in Z\}$$

$$(X \times Y) + (X \times Z) = \{((x,y),0) \mid x \in X, y \in Y\}\cup \{((x,z),1) \mid x \in X, z \in Z\}$$

Puedo ver que por la regla de los pares ordenados, estos 2 conjuntos son diferentes. Lo que no entiendo es de dónde sale la unión y además la aparición de 0 y 1 en ambos conjuntos. Creo que puede ser tan simple como que no he podido encontrar la aclaración de lo que significa el operador "+", pero se agradece cualquier ayuda al respecto.

Muchas gracias.

Answer 1

La notación $X+Y$ proviene de la aritmética cardinal, que a su vez proviene de la aritmética finita.

Sabemos que si $X\cap Y=\varnothing$ y $|X|=n$ y $|Y|=k$ entonces $|X\cup Y|=|X|+|Y|=n+k$ . Por lo tanto, para garantizar que $X$ y $Y$ son disjuntos definimos lo siguiente: $$X+Y=X\times\{0\}\cup Y\times\{1\}$$

Ahora sostiene que $|X+Y|=|X|+|Y|$ .

El enunciado de su pregunta pregunta esencialmente si $+,\times$ obedecen a las mismas leyes distributivas que conocemos de la aritmética finita. La respuesta suele ser no en el sentido estricto de la igualdad, pero es sí cuando pasamos de los conjuntos a sus cardinales.

Answer 2

$X+Y$ es la unión disjunta de $X$ y $Y$ y a menudo se denota $X \sqcup Y$ . La forma en que se suele formalizar esto es definiendo $$X + Y = X \times \{ 0 \} \cup Y \times \{ 1 \}$$ y luego podemos incrustar $X \hookrightarrow X+Y$ por $x \mapsto (x,0)$ y $Y \hookrightarrow X+Y$ por $y \mapsto (y,1)$ . Pero esto es sólo una formalización y podría hacerse de muchas otras maneras.

Nota al margen: A menudo se ve $+$ utilizado en lugar de $\sqcup$ en el contexto de la teoría de las categorías, donde $+$ denota el coproducto . En la categoría $\mathbf{Set}$ de conjuntos y funciones, el coproducto es (alguna formalización de) la suma directa. Esto se generaliza a otras categorías y muchos de los resultados se trasladan. La razón por la que menciono la teoría de las categorías es que, aunque $X \times (Y + Z)$ y $X \times Y + X \times Z$ no son igual son naturalmente isomorfo en la categoría $\mathbf{Set}$ y de hecho cualquier categoría en la que existan estos coproductos.

Answer 3

Aparentemente, su " $+$ " es unión disjunta (a diferencia de la unión habitual $\cup$ ). Para hacer conjuntos arbitrarios $A, B$ disjuntos, se sustituyen por $A\times\{0\}$ y $B\times \{1\}$ antes de tomar la unión, es decir $$\tag1A+B=A\times\{0\}\cup B\times \{1\}$$

Tenga en cuenta que en general $A+B\ne B+A$ , $(A+B)+C\ne A+(B+C)$ y además la propiedad distributiva de tu pregunta no se cumple en sentido estricto. Sin embargo, hay biyecciones obvias y naturales entre estos conjuntos que deberían ser iguales, por ejemplo $$\tag2A+B\to B+A, ((a,0),(b,1))\mapsto (b,0),(a,1))$$ y $$\tag3A\times (B+C)\to A\times B+A\times C, (a,(x,k))\mapsto ((a,x),k)$$

Tenga en cuenta que la elección de $0$ y $1$ en $(1)$ que se utiliza para hacer valer la disociación es un poco arbitrario y las biyecciones en $(2)$ , $(3)$ son, en cierto modo, la identidad si se cierran los ojos lo suficiente para no ver esta arbitrariedad.