Considere la posibilidad de la $p$-ádico logaritmo definido por la serie $$\log (1+x) = \sum_{n\ge 1} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}.$$ Converge para $|x|_p < 1$, y si $|x|_p < 1$$|y|_p < 1$, luego tenemos $$\log ((1+x)\cdot (1+y)) = \log (1+x) + \log (1+y).$$ Una manera de hacerlo es mostrar a la nota que en el anillo de poder formal de la serie de $\mathbb{Q} [[X,Y]]$ (donde $\log (1+X)$ es definido por la misma fórmula) tenemos $$\log ((1+X)\cdot (1+Y)) = \log (1+X) + \log (1+Y).$$
¿Cómo hace uno para ver de que esta identidad formal, de hecho, implica la identidad de arriba?
Tenemos que ver que $$\sum_{n\ge 1} (-1)^{n+1}\,\frac{(x+y+xy)^n}{n} = \sum_{n\ge 1} (-1)^{n+1}\,\left(\frac{x^n}{n} + \frac{y^n}{n}\right).$$ Que nos permita ampliar el plazo $(x+y+xy)^n$: $$(x+y+xy)^n = \sum_{i_1 + i_2 + i_3 = n} {n \choose i_1, i_2, i_3} \, x^{i_1}\,y^{i_2}\,(xy)^{i_3} = \sum_{i_1 + i_2 + i_3 = n} {n \choose i_1, i_2, i_3}\,x^{i_1+i_3}\,y^{i_2+i_3} = \sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0} {n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j.$$ Tenemos a continuación $$\sum_{n\ge 1} (-1)^{n+1}\,\frac{(x+y+xy)^n}{n} = \sum_{n\ge 1} \sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j.$$ Ahora el orden de las sumas $\sum_{n\ge 1} \sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0}$ puede ser cambiado (volveré a este punto más abajo) para obtener $$\sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0} \sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j,$$ y tenemos que ver que los números $$c_{ij} = \sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}$$ satisfacer $$c_{ij} = \begin{cases} (-1)^{m+1}/m, & \text{if }i = m, j = 0 \text{ or } i = 0, j = m,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{casos}$$ Pero ya sabemos que es cierto que gracias a la identidad formal en $\mathbb{Q} [[X,Y]]$, por lo que estamos por hacer.
El único no-formal paso en el proceso es cambiar el orden de las sumas. Recordar que en el no-archimedian caso, tenemos $$\sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0} x_{ij} = \sum_{j\ge 0} \sum_{i\ge 0} x_{ij}$$ si $|x_{ij}| \to 0$$\max (i,j) \to \infty$.
En el caso anterior, podemos señalar que $$\left|\sum_{j\ge 0} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j\right|_p \xrightarrow{\max (n,i) \to \infty} 0$$ (por cierto, es completamente obvio?) así que $$\sum_{n\ge 1} \sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j = \sum_{i\ge 0} \sum_{n\ge 1} \sum_{j\ge 0} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j = \sum_{i\ge 0} \sum_{j\ge 0} \sum_{n\ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\,{n \choose n-j, n-i, i+j-n}\,x^i\,y^j$$ (podemos cambiar las dos interior sumas en la segunda igualdad, puesto que son finitos).
Mi pregunta es la siguiente: todos estos detalles se ven un poco desordenado. Hay una menor justificación de la transición de la identidad formal de la identidad correspondiente con $p$-ádico de la serie?
Koblitz en su GTM 58 libro dice que, dado que en la no-archimedian situación, cualquier convergente la serie converge después de un arbitrario reordenación, se puede asumir automáticamente que se puede escribir $$\sum_{n\ge 1} (-1)^{n+1}\,\frac{(x+y+xy)^n}{n} = \sum_{i\ge 0}\sum_{j\ge 0} c_{ij}\,x^i\,y^j,$$ para algunos $c_{ij}$. Tal vez me estoy perdiendo algo que es obvio, y el cambio de la suma de orden, de hecho, no requiere ningún tipo de justificaciones explícitas?
Gracias.
