¿Se mantiene$e^Xe^Y = e^Ye^X$ iff$[X,Y]=0$ una vez que estamos suficientemente cerca de la identidad de un grupo de Lie?

Question

Deje $G$ ser una Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Deben existir un barrio de $U \subseteq \mathfrak{g}$ $0$ tal que, para todos los $X,Y \in U$, la implicación de $$e^Xe^Y = e^Ye^X \Rightarrow [X,Y]=0$$ es válido?

No tengo ninguna educación formal en la Mentira de grupos y álgebras de auto-administrado o de lo contrario, por lo que, aunque a menudo me han suposiciones en cuanto a qué tipo de cosas debe ser cierto, yo rara vez saben cómo ir probando. Mi única idea era algo como esto:

• Palabra en la calle es que, a nivel local, la estructura del producto de Lie del grupo pueden ser descritos por funciones analíticas en la Mentira de álgebra.
• Debemos ser capaces de ver $\{(X,Y): e^Xe^Y=e^Ye^X\}$ como la puesta a cero de algunos analítica de la función.
• La puesta a cero de un (multivariable) de la analítica de la función, probablemente, no se ve tan mal
• ....?

Answer 1

Sí, es cierto. De hecho, podemos localmente escribir el BCH fórmula como $$\log(e^xe^y)=x+y+\frac12[x,y]+Q(x,y,[x,y]).$$ Aquí $Q$ se define como sigue: el resto (suma de los términos de la orden de $\ge 3$ en el CIISB) se escribe como $\sum_i \lambda_iP_i(x,y)([x,y])$ donde $P_i$ es algunos finito no vacío producto de los operadores de $\mathrm{ad}(x)$$\mathrm{ad}(y)$, e $Q(x,y,z)=\sum \lambda_iP_i(x,y)(z)$. En particular, podemos atado alrededor de cero $\|Q(x,y,z)\|\le C\max(\|x\|,\|y\|)\|z\|$ para un adecuado constante (y la elección de las normas).

Si $e^xe^y=e^ye^x$ pequeña $x,y$, esto produce
$$x+y+\frac12[x,y]+Q(x,y,[x,y])=y+x+\frac12[y,x]+Q(y,x,[y,x]),$$ es decir, $$[x,y]=Q(y,x,-[x,y])-Q(x,y,[x,y]).$$

Este rendimientos $\|[x,y]\|\le 2C\max(\|x\|,\|y\|)\|[x,y]\|$. Si $[x,y]\neq 0$, los rendimientos de $1\le 2C\max(\|x\|,\|y\|)$, lo cual es una contradicción si $(x,y)$ está muy cerca de a $(0,0)$.

Answer 2

Es suficiente para probar el resultado para $X$, $Y$ $n\times n$ matrices complejas.

Ahora, tenemos la siguiente fórmula:

$$e^X e^Y e^{-X}= \exp( Ad(e^X)(Y))$$ donde

$$Ad(e^X)(Y) = \exp( ad(X)) (Y)$ $ , donde de nuevo el operador $ad(X)$ actúa en $n\times n$ de las matrices$$ Z \mapsto ad(X) Z \colon = [X,Z]$$ and $\exp ad(X)$ is the exponential of this linear map from $M_n(\mathbb{C})$ a sí mismo.

Ahora tenemos que demostrar que $\exp (T)(Y) = Y$ implica $T Y = 0$ si $T$ es lo suficientemente pequeño. De hecho, tenemos las siguientes:

Deje $T$ ser lineal en el mapa en un número finito de dimensiones (complejo) espacio vectorial $V$$v$$V$, de modo que $\exp T v = v$. Supongamos, además, que $T$ no tiene autovalores $\lambda = 2 k \pi i$, $k \ne 0$. A continuación,$T v = 0$. Sugerencia: considerar la forma canónica de Jordan de a $T$.

$\bf{Added:}$ Usted también puede mostrar la última afirmación es verdadera para $T$ lo suficientemente pequeño como el uso de la fórmula

$$\log ( I + ( e^T - I)) = T$$ donde $$\log ( I + S) = S - \frac{S^2}{2} + \frac{S^3}{3} + \cdots$$