Representación irreducible de complejos dimensionales finitos de$GL_2(\Bbb C)$

Question

Conozco la teoría básica de la teoría de la representación de los grupos de Lie compactos y quiero entender un ejemplo no compacto:

¿Cómo encontrar todas las representaciones complejas irreducibles dimensiones finitas de$GL_2(\Bbb C)$? ¿Son sus representaciones complejas de dimensiones finitas siempre completamente irreducibles?

Creo que no puede existir un producto interior invariante en sus representaciones, ¿hay alguna manera de encontrar sus representaciones usando algo como su álgebra de mentira?

Answer 1

No. Considere la acción$\rho$ de$GL_2(\mathbb{C})$ tal que, para cada$\mathbb{C}^2$, la matriz de$g\in GL_2(\mathbb{C})$ con respecto a la base estándar es% $ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 'es invariante, pero es el único subespacio invariante unidimensional.

Answer 2

En efecto, el literal de la respuesta negativa a la primera pregunta incluye el estándar de lucha contra el ejemplo dado por @JoseCarlosSantos. Aún así, la modificación de la pregunta/ejemplo algo de diversas maneras le da una respuesta positiva. En primer lugar, si insistimos en "algebraica" de las representaciones (en algún sentido...) esto podría ser arreglada para excluir el contra-ejemplo.

O, por ejemplo, en lugar de $G=GL_2$, tratando de $G=SL_2$ evita la contra-ejemplo.

En cualquiera de los estilos de evitar que (y relacionados) contra-ejemplos, H. Weyl "unitaria truco" intenta arreglar que un finito-dimensional repn (bajo algunas hipótesis...) de una reductora (lineal...) real de la Mentira de grupo puede ser complexifiedy, a continuación, restringido a un repn de la compacta forma real, reduciendo así muchas preguntas a la repn teoría de compacto Mentira grupos.

Por lo tanto, bajo suave (pero no trivial) hipótesis tales repns son completamente reducible, y así sucesivamente. Pero tiene usted razón, que ellos no tienen invariante en el interior de los productos para el (original) de no-grupo compacto, aunque tienen para el compacto de forma real, lo que permite Weyl de pruebas (bajo diversas hipótesis apropiadas para hacer que el argumento sea posible).

Y, sí, a continuación, una clasificación de ("algebraica"?) irreducibles por los más altos de los pesos se realiza correctamente.