Círculo cerrado como un espacio métrico

Question

Si tomo el círculo de unidades cerradas,$C$, puedo crear un espacio métrico$(C,d)$, donde$d$ es la métrica euclidiana?

La razón para preguntar es que mi libro de texto dice que todos los espacios métricos están abiertos, así que: (i) ¿Mi ejemplo es inadmisible como un espacio métrico? O (ii) Para los puntos alrededor del borde del círculo,$a$, las bolas abiertas$B(a,\delta)$ no son sus típicas bolas abiertas, sino más bien la parte de las bolas que interseca con$C$ ?

Answer 1

Sí,$(C,d)$ es un espacio métrico. Y, sí, para puntos en$C$, las bolas abiertas son la intersección de bolas abiertas usuales (en$\mathbb{R}^2$) con$C$.

Answer 2

Cada espacio métrico$X$ está abierto y cerrado en sí mismo ; Tenga en cuenta que$\varnothing$ es, por definición, cerrado y abierto y que$\varnothing = X^{c}$. Así que$C$ está abierto en sí mismo, pero, cuando se considera como un subconjunto de$\mathbb{R}^{2}$, se cierra en$\mathbb{R}^{2}$.

Supongo que por un círculo que realmente quiere decir un círculo en lugar de un disco. Permitir$a \in C$ y$\delta > 0$. Tenga en cuenta que$B(a,\delta) := \{ x \in \mathbb{R}^{2} \mid |x-a| < \delta \}$ es una bola abierta que parece un disco abierto. El conjunto$\{ x \in C \mid |x-a| < \delta \} = B(a,\delta) \cap C$ es una bola abierta en$C$, pero no parece una pelota.

Answer 3

Todo el espacio de un espacio métrico y el conjunto vacío están cerrados y abiertos.

Usted puede crear el espacio métrico $(C,d_C)$ donde $d_C$ es la restricción de la métrica Euclidiana $d_2$ a los puntos de $C$ .

Abierto las bolas de este espacio métrico será el abierto de bolas en la general, el espacio Euclidiano de intersección $C$.

$(C,d_C)$ se llama un subespacio del espacio original en virtud de la topología inducida por la métrica(en este caso por la métrica Euclidiana $d_2$).

También un subconjunto $A$ $C$ está abierto en $C$ fib existe un subconjunto abierto $B$ de la general, el espacio Euclidiano tal que $A=B \cap C$.

Lo mismo es cierto para un para un subconjunto de a $C$ a ser cerrado en $C$.

Answer 4

Si $(X,d)$ es un espacio métrico y $A\subseteq X$, $(A,d')$ es un espacio métrico, donde $d'$ es sólo $d$ restringido a $A$; es decir, $d':=d|_{A\times A}$. Usualmente $d$ será por escrito en lugar de $d'$, y sólo tendremos que entender por el contexto que es el de la restricción. Ahora $A$ está abierto en el $d'$ métrica, sin importar si es o no es abierto en la $d$ métrica.

Un punto de vista diferente es su (ii). Si $x\in A$, $d$'bola centrada en $x$ radio $r>0$ es igual a la intersección de $A$ $d$- bola centrada en $x$ radio $r$. En símbolos,

$$ B_{d'}(x,r) = A\cap B_d(x,r). $$ Hay un parcial de conversar a esta declaración como bien. Si $B_d(x,r)$ $d$- a la pelota con $x\in X$, entonces la intersección de a $A\cap B_d(x,r)$ está abierto en el $d'$ métrica. De hecho, si $a \in A\cap B_d(x,r)$, a continuación, configuración de $\delta:=r-d(x,a)$ implica $B_{d'}(a,\delta)\subseteq A\cap B_d(x,r)$. Para ver esto, supongamos $y\in B_{d'}(a,\delta)$. A continuación, $y\in A$ por el hecho de que $d'$ sólo actúa en pares en $A$, e $y\in B_{d}(x,r)$ porque $d(y,x) \leq d(y,a)+d(a,x) < \delta+d(a,x)=r$.