Encuentre el conjunto de$x>0$ de manera que la serie$\sum\limits_n x^{\ln{n}}$ converja

Question

Si$x>0$, encuentra el conjunto de todos los valores de$x$ de manera que la serie sea convergente$$\sum_{n=1}^{\infty} x^{\ln{n}}$ $

Mi intento: - Utilicé la prueba Ratio para encontrar el conjunto de todos los valores de$x$ de manera que la serie sea convergente.

ps

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\ln{n+1}}}{x^{\ln{n}}}$ $ Esta cantidad debe ser inferior a uno para obtener una serie convergente, no puedo juzgar. ¿Puedes ayudarme a encontrar el intervalo de convergencia?

Answer 1

tomar $x=e^{-y}$

ps

La última serie converge iff$$\sum_{n=1}^{\infty}x^{\ln n}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-y\ln n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^y}$.

Por lo tanto$y>1$, para el cual converge la serie.

Answer 2

Sabemos que$x^{\ln y}=y^{\ln x}$ y aquí tenemos$\sum_1 ^\infty x^{\ln n}=\sum_1 ^\infty n^{\ln x}=\sum_1 ^\infty \frac{1}{n^{-\ln x}}$ y por lo tanto la serie converge si$-\ln x>1$ ie para$0<x<\frac{1}{e}$