Demuestre que si$\gcd(a,b) = 1$, entonces$\gcd(ab,a^2+b^2)=1.$

Question

Estaba leyendo una prueba que decía

Como$\gcd(a, b) = 1$, se sigue que$\gcd(ab, a^2 + b^2) = 1$.

No puedo entender por qué esta afirmación es cierta. Traté de factor$ab$ y$a^2+b^2$, pero no creo que realmente se puede reducir$a^2$ y$b^2$ porque es sólo la adición. No estoy muy seguro de cómo hacer esto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Dejar $d=gcd(ab,a^2+b^2)$. Entonces y $d\mid ab$. Para un divisor principal$d\mid a^2+b^2$ con$p\mid d$ tenemos$p\mid ab$ o$p\mid a$. Suponer que $p\mid b$. Entonces$p\mid a$, y porque$p\mid a^2$ también obtenemos$p\mid a^2+b^2$. Similarmente$p\mid b^2$ implica que$p\mid b$. Por lo tanto, obtenemos $$ p \ mediados gcd (a ^ 2, b ^ 2) = gcd (a, b) = 1. $$ Para el último paso, vea este duplicado: Probar que si$p\mid a^2$, entonces$\gcd(a,b)=1$ .

Answer 2

Yo siempre prefiero la Identidad de Bézout pruebas.

Lema 1: Si $\gcd(c,d)=1$ $\gcd(c,ck+d)=1$ cualquier $k$.

Prueba: Si $cx+dy=1$,$c(x-ky)+(ck+d)y=1$.

Lema 2: Si $\gcd(c_1,d)=1$$\gcd(c_2,d)=1$$\gcd(c_1c_2,d)=1$.

Prueba: Solucionar $c_1x_1+dy_1=1$$c_2x_2+dy_2=1$. Multiplicando, y se obtiene:

$$c_1c_2(x_1y_1)+d(y_2c_1x_1+y_1c_2x_2+dy_1y_2)=1$$

Teorema: Si $\gcd(a,b)=1$$\gcd(ab,a^2+b^2)=1$.

Prueba: Lema 2 implica que $\gcd(a,b^2)=1$. Lema 1 implica que $\gcd(a,a^2+b^2)=1$.

Del mismo modo, conseguimos que los $\gcd(b,a^2+b^2)=1$.

Entonces, por el Lema 2, tenemos que $\gcd(ab,a^2+b^2)=1$.

Answer 3

Comentario: cada número natural mayor que $1$, tiene un factor primo.

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Euclides el Lema: Deje $a$ $b$ a ser números enteros y deje $p$ a ser un número primo.

Si $p \mid ab$ $p \mid a$ o $p \mid b$.

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Lema(2): Deje $b$ a ser un número entero y deje $p$ a ser un número primo.

Si $p \mid b^2$$p \mid b$.

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Supongamos por el contrario que $\gcd(ab, a^2+b^2) \geq 1$, así que por el anterior comentario debe haber un primer factor $p$.

Observe que $p \mid ab$, sin pérdida de generalidad por el Euclid del lema podemos suponer que $p \mid a$, por lo tanto tenemos: $p \mid a^2$.

En el otherhand $p \mid a^2+b^2$, así que tenemos $p \mid (a^2+b^2)-a^2$, es decir,$p \mid b^2$, y por el lema(2) , a continuación,$p \mid b$.

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Por lo tanto tenemos: $p \mid a$ $p \mid b$ ; pero tenga en cuenta que, es una evidente contradicción con la suposición de que $\gcd(a,b)=1$.

Answer 4

Establece$d:=gcd(ab,a^2+b^2)$ y asume$d\neq 1.$ Esto significa que existe un primo$p$ con \begin{equation}p|d|ab, \end {equation} que implican$p|a$ o$p|b.$% Usando esto y \begin{equation}p|d|a^2+b^2 \end {equation} implica$p|a.$ y por lo tanto$p|b^2$, porque p es primo. Pero esto significa que$p|b$ es un número al menos$p$ y divide$2$ Pero esto es una contradicción a$a,b.$