Zona delimitada por $\cos x+\cos y=1$

Question

Cuál es la superficie de la región $\cos x+\cos y > 1$ , donde $|x|,|y|<\pi$ ?

En otras palabras, ¿existe una forma "cerrada" -utilizando funciones bien conocidas y agradables de trabajar- para esta integral? $$4\int_0^{\pi/2}\cos^{-1}(1-\cos x)\,dx = 7.2948823845\ldots$$

Puedo aproximarme bastante bien:

>>> scipy.integrate.quad(func=lambda x: math.acos(1-math.cos(x)),
...                      a=0, b=math.pi/2,
...                      epsabs=1e-14, epsrel=1e-13, limit=200)
(1.8237205961260357, 1.0436096431476471e-14)

veces 4:

(7.294882384504143, 4.1744385725905886e-14)

Estos números no aparecen en la Calculadora Simbólica Inversa, OEIS o Google.

Hago esta pregunta porque encontrar el área de $(\cos x + \cos y > M)$ para una variable $M$ es un paso intermedio hacia la solución de esta cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de que un $n$ -¿un polígono cuyos vértices se encuentran aleatoriamente en la circunferencia de un círculo cubre la mayor parte del área del círculo? Me imagino que si hay alguna posibilidad de que esta área sea una función razonable de $M$ entonces debería tener un valor razonable cuando $M=1$ ¡!

Editar: En los comentarios, LCFactorization encontró esta forma: $$\frac{8}{9\sqrt{\pi}}\left( 9\Gamma\left(\frac{3}{4}\right)^2{}_4F_3\left( \begin{array}{c}\frac14,\frac14,\frac34,\frac34\\\frac12,\frac54,\frac54\end{array};\frac14\right) + \Gamma\left(\frac{5}{4}\right)^2{}_4F_3\left( \begin{array}{c}\frac34,\frac34,\frac54,\frac54\\\frac32,\frac74,\frac74\end{array};\frac14\right) \right)$$ ¿Cómo podemos los humanos derivar esa expresión de la integral? ¿Y se puede simplificar?

Editar 2 : ¿Y cómo se puede conseguir que un motor de integración simbólica maneje una integral así? En Mathematica, las entradas Integrate[ Boole[Cos[x] + Cos[y] > 1], {x, -Pi/2, Pi/2}, {y, -Pi/2, Pi/2}] y Integrate[ArcCos[1 - Cos[x]], {x, 0, Pi/2}] sólo la salida de integrales de nuevo. ¿Cómo se le insinúa para que pruebe las locas funciones hipergeométricas?

Answer 1

Escribe la ecuación implícita en forma paramétrica: $$\begin{cases} x(t)=t\\ y(t)=\pm\arccos(1-\cos t) \end{cases}\quad t\in [-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2]\tag{1}$$

La curva parece:

Usa el teorema de Green,

$${\rm Area}=4\int_0^{\tfrac{\pi}2}x(t){\rm d}y(t)=4\int_0^{\tfrac{\pi}2}\dfrac{-t \;\sin t\; {\rm d}t}{\sqrt{(2-\cos t) \cos t}}\tag{2}$$

Sustituir $u=\cos t$ , $t=\arccos u$ :

$${\rm Area}=4\int_0^1 \dfrac{\arccos u}{\sqrt{2 u-u^2}}{\rm d}u \tag{3}$$

Entonces calculando (3) en Mathematica se puede obtener la salida deseada:

(1/(9 Sqrt[[Pi]]))8 (9 Gamma[3/4]^2 HypergeometricPFQ[{1/4, 1/4, 3/4, 3/4}, {1/2, 5/4, 5/4}, 1/4] + Gamma[5/4]^2 HypergeometricPFQ[{3/4, 3/4, 5/4, 5/4}, {3/2, 7/4, 7/4}, 1/ 4])