¿Lo importante es el papel de asíntotas de una hipérbola?

Question

Sea A la hipérbola con la ecuación de $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, donde $a$ es el $x$-intercepto y $b$ es el # de $y$-intercepto.

Teniendo en cuenta esto se puede calcular que el % de líneas $\displaystyle y=\frac{b}{a}\cdot x$y $\displaystyle y=-\frac{b}{a}\cdot x$ son dos asíntotas de la hipérbola.

¿La pregunta es simplemente: son significativas estas asíntotas? Y si es así, ¿por qué?

Answer 1

La hipérbola dada por la ecuación

$$ x^2 - y^2 = 1$$

se parece a esto:

_{(fuente de la imagen: wolfram alpha)}

En esta escala, la hipérbola es prácticamente indistinguible de la unión de sus asíntotas. Ya que las líneas son más fáciles de entender que las hipérbolas, a esta escala, es mucho más fácil entender la hipérbola en términos de sus asíntotas.

Answer 2

Aquí está un gráfico de

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$$

a gran escala.

También quisiera incluir las gráficas de las asíntotas

$$ y=\pm \frac{3}{2}x$$

pero creo que el resultado sería evidente.

Answer 3

Sí, las asíntotas decirle el comportamiento global de la hipérbola, y en general es muy útil poder explicar el comportamiento global de algo complicado con cosas más simples que ya entiendes bien (como funciones lineales).

En concreto, te dicen que una hipérbola se convierte linear lejos de su centro.

Answer 4

Suficientemente grande $x$ la hipérbola está arbitrariamente cerca de sus asíntotas.