Si $\frac {a_{n+1}}{a_n} \ge 1 -\frac {1}{n} -\frac {1}{n^2}$ y $\sum\limits_na_n$ diverge

Question

Deje $(a_n)_{n \ge 1}$ ser una secuencia de números reales positivos tales que, para cada $n\ge1$, $$\frac {a_{n+1}}{a_n} \ge 1 -\frac {1}{n} -\frac {1}{n^2} \tag 2$$ Prove that $x_n=a_1 + a_2 + .. + a_n$ diverge.

Está claro que $x_n$ es creciente, por lo que tiene que tener un límite. Me trataron de demostrar que el límite es de $+\infty$, pero sin éxito. No hay divergencia de criterios en la serie parece funcionar aquí.

ACTUALIZACIÓN

Intento: Supongamos que una mayor desigualdad se cumple, es decir que por cada $n\ge1$, $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\geqslant1-\frac1n \tag 1$$ Entonces: $$\frac {a_3}{a_2} \ge \frac 1 2\qquad \frac {a_4}{a_3} \ge \frac 2 3\qquad \ldots\qquad \frac {a_{n-1}}{a_{n-2}} \ge \frac {n-3}{n-2}\qquad \frac {a_n}{a_{n-1}} \ge \frac {n-2}{n-1}$$ Multiplicando todos los anteriores rendimientos $$\frac {a_n}{a_2} \ge \frac 1 {n-1}$$ La última desigualdad demuestra la divergencia.

Answer 1

Usted puede notar que % $ $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n^2-n-1}\right)^{-1} \tag{1}$por lo tanto: $$ \frac{a_{N+1}}{a_2}\geq \frac{1}{N}\prod_{n=2}^{N}\left(1+\frac{1}{n^2-n-1}\right)^{-1} \tag{2}$ $ pero el producto infinito $\prod_{n\geq 2}\left(1+\frac{1}{n^2-n-1}\right)^{-1}$ es convergente a un número positivo ($-\frac{1}{\pi}\cos\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 0.296675134743591$). Sigue que $a_{N+1}\geq \frac{C}{N}$ $\sum_{n\geq 2}a_n$ es divergente.

Answer 2

Es fácil mostrar que, para cada $n\ge3$, $$ 1 - \frac {1} {n} - \frac {1} {n ^ 2} \ge \frac {n-2}{n-1}$$ It follows that, for every $n\ge3$, $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge \frac {n-2}{n-1}$ $, $$ \frac {a_4} {a_3} \ge \frac 1 2\qquad \frac {a_5} {a_4} \ge \frac 2 3\qquad \ldots\qquad \frac {a_ {n-1}} {a_ {n-2}} \ge \frac {n-4} {n-3} \qquad \frac {a_n} {a_ {n-1}} \ge \frac {n-3} {n-2} $$

Multiplicando todo lo anterior, obtiene: $$\frac {a_n}{a_3} \ge \frac 1 {n-2}$ $ por lo tanto, $$a_n\ge \frac{a_3}{n-2}$ $ la última desigualdad junto con los criterios de comparación para series demuestra la divergencia.