¿Cuál es la diferencia entre la función generadora de momentos y la función generadora de probabilidades?

Question

Estoy confundido entre los dos términos "función generadora de probabilidad" y "función generadora de momento". ¿En qué se diferencian estos términos?

Answer 1

La función generadora de probabilidad suele utilizarse para las variables aleatorias de valor entero (no negativo), pero en realidad no es más que un reempaquetado de la función generadora de momentos. Por tanto, ambas contienen la misma información.

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria no negativa. Entonces (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) la función generadora de probabilidad se define como $$ \DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X $$ y la función generadora de momentos es $$ M_X(t) = \E e^{t X} $$ Ahora defina $\log z=t$ para que $e^t=z$ . Entonces $$ G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z) $$ Así que, para concluir, la relación es sencilla: $$ G(z) = M_X(\log z) $$

EDIT   

@Carl escribe en un comentario sobre esta mi fórmula " ... que es verdadera, excepto cuando es falsa" por lo que necesito tener algunos comentarios. Por supuesto, la igualdad $ G(z) = M_X(\log z)$ asume que ambos están definidos, y un dominio para la variable $z$ es necesario que se dé. Pensé que el post era lo suficientemente claro sin esas formalidades, pero sí, a veces soy demasiado informal. Pero hay otro punto: sí, la función generadora de probabilidad se utiliza sobre todo para funciones de masa de probabilidad (de argumento no negativo), de donde viene el nombre. Pero no hay nada en la definición que suponga esto, ¡puede usarse también para cualquier variable aleatoria no negativa! Como ejemplo, tomemos la distribución exponencial con tasa 1, podemos calcular $$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z} $$ que podría ser utilizado para todos los fines que hacemos uso de la función generadora de momentos, y se puede comprobar las relaciones entre la función de dos se cumplen. Normalmente no lo hacemos, probablemente es más práctico utilizar las mismas definiciones con variables (posiblemente) negativas y no negativas. Pero no está obligado por las matemáticas.

Answer 2

Definamos primero ambas cosas y luego especifiquemos la diferencia.

1) En la teoría de la probabilidad y la estadística, el función generadora de momentos (mgf) de una variable aleatoria de valor real es una especificación alternativa de su distribución de probabilidad.

2) En la teoría de la probabilidad, el función generadora de probabilidad (pgf) de una variable aleatoria discreta es una representación en serie de potencias (la función generadora) de la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria.

El mgf puede considerarse una generalización del pgf. La diferencia es, entre otras cosas, que la función generadora de probabilidad se aplica a variables aleatorias discretas, mientras que la función generadora de momentos se aplica a variables aleatorias discretas y también a algunas variables aleatorias continuas. Por ejemplo, ambas podrían aplicarse a la distribución de Poisson, ya que es discreta. De hecho, dan un resultado de la misma forma; $e^{\lambda(z - 1)}$ . Sólo el mgf se aplicaría a una distribución normal y ni el mgf ni el pgf se aplican a la distribución de Cauchy, pero por razones ligeramente diferentes.

Edit

Como señala @kjetilbhalvorsen, el pgf se aplica a las variables aleatorias no negativas y no sólo a las discretas. Así, la entrada actual de Wikipedia en función generadora de probabilidad tiene un error de omisión, y debe ser mejorado.