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Question

Encontrar $\lim_{x\to 1}f(x)$, donde $$f(x) = \int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln {t}}\mathrm dt$ $

Traté de dividir en dos integrales, una de 1 $x^2$ y la otra de $x$ $1$. No importa cómo dividirlo, tengo cero. Wolfram Alpha tiene algún tipo de una respuesta diferente, más sofisticada con funciones que no cubrimos en la Conferencia.

Answer 1

$t>0$: $$\frac{t-1}t\leq\ln t\leq t-1$ $ Para $ de $$\int_x^{x^2}\frac{1}{t-1}dt\leq\int_x^{x^2} \frac{1}{\ln t}\,dt\leq \int_x^{x^2}\dfrac{t}{t-1}dt$ con $x\to1$tiene de límite % respuesta $\ln2$.

Answer 2

SUGERENCIA:

Escriba $\frac{1}{\log(t)}=\left(\frac{1}{\log(t)}-\frac{1}{t-1}\right)+\frac{1}{t-1}$. Luego Observe que $\frac{1}{\log(t)}-\frac{1}{t-1}$ tiene una discontinuidad removible en $t=1$, que una vez retirado, es analítica en un barrio de $t=1$.

Luego escribe,

$$\begin{align}\int_x^{x^2}\frac{1}{\log(t)}\,dt&=\int_x^{x^2}\left(\frac{1}{\log(t)}-\frac{1}{t-1}\right)\,dt+\int_x^{x^2}\frac{1}{t-1}\,dt\tag1 \end {Alinee el} $$

Answer 3

Sustitución de $t=e^u$, $\mathrm dt=e^u\mathrm du$, tenemos $$ f(x)=\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{e^u\mathrm du}{u}.$ $ $x>1$ entonces tenemos $1\le e^u\le x^2$, por lo tanto, $$ \int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{\mathrm du}{u}\le f(x)\le x^2\int_{\ln x}^{2\ln x}\frac{\mathrm du}{u}$ $ (y similar para $x<1$) con un integral ya conocido: $\int \frac{\mathrm du}u=\ln |u|+C$. Concluimos que el $$ \ln 2\le f(x)\le x^2\ln 2$ %#% $ y lo $ de #%

Answer 4

Usar el hecho de que $\ln$ es una función cóncava y así, para $1\leq x\leq t\leq x^2$,

$$2(t-1)\frac{\ln(x)}{(x-1)(x+1)}\leq\ln(t)\leq t-1$$

Invertir esta:

$$\int_x^{x^2}\frac1{t-1}~\mathrm dt\leq\int_x^{x^2}\frac1{\ln(t)}~\mathrm dt\leq\frac{(x-1)(x+1)}{2\ln(x)}\int_x^{x^2}\frac1{t-1}~\mathrm dt$$

Estos son fáciles de integrar:

$$\int_x^{x^2}\frac1{t-1}~\mathrm dt=\ln(x+1)$$

Y así por el teorema del apretón, uno puede demostrar

$$\lim_{x\to1}\int_x^{x^2}\frac1{\ln(t)}~\mathrm dt=\ln(2)$$

Teniendo en cuenta el derecho de desorden integral puede ser arreglado con la primera desigualdad aplicados una vez más y usando el teorema del apretón.

Answer 5

$\frac{1}{\ln(t)}=\frac{t}{t\ln(t)}=\frac{(t-1)+1}{t\ln(t)}=\frac{t-1}{t\ln(t)}+\frac{1}{t\ln(t)}$

Que $f : t \mapsto \frac{t-1}{t\ln(t)}$ y $g : t \mapsto \frac{1}{t\ln(t)}$.

• $f$ puede ampliarse continuamente en 1, así $\int f(t) ~\mathrm{d}t$ converge. Entonces, $\int_x^{x^2} f(t) ~\mathrm{d}t \underset{x=1}{\rightarrow}0$.
• $g(t) = \frac{d}{dt}(\ln(\ln(t))$ y $\ln(\ln(x^2))-\ln(\ln(x))=\ln(2\ln(x))−\ln(\ln(x))=\ln(2)$

CONCLUSIÓN: el límite es de $\ln(2)$.