expectativa de $\int_0^t W_s^2 dW_s $ (integral del cuadrado de browniano wrt a browniano)

Question

Buscando respuestas en el sitio me encontré con esta respuesta con 3 upvotes donde estoy teniendo problemas para entender una integral. No teniendo suficiente reputación (SE requiere el 50 reputación, al menos, y no tengo acceso al chat hasta después de la edición) que no puedo comentar en el post y pedir a Sasha, la contestadora de aclaración.

El usuario dijo: Si $X := \int_1^2 W_s^2 \, dW_s$ $E[X]=0$ donde $W_s$ es un movimiento Browniano.

Todavía no puedo entender cómo llegó a esta conclusión.

He seguido los pasos y comenzó a partir de una pregunta más general comenzando con $X=\int_0^t W_s^2dW_s$ : 1)Ito isometría me dice que :$$ E\left[ \left(\int_0^t W_s \, dW_s \right)^2 \right] = E \left[\int_0^t W_s^2 \, ds \right]$$

2) el teorema de Fubini (si se me hizo unsterdand correctamente desde esta otra respuesta por Byron Schmuland) que tengo: $$ E \left[\int_0^t W_s^2 \, ds \right] = \int_0^t E[W_s^2] \, ds = \int_0^t s \, ds = \frac{t^2}{2}$$

3) la aplicación de esta para el caso particular iba a terminar con esta primitiva evaluado en los siguientes límites : $$\left[\frac{s^2}{2}\right]^2_1=1.5$$

Lo que es diferente a $E[X] =0$

No puedo ver lo que estoy haciendo mal. En el formulario de la cuestión son los \left \right soportes necesarios para mejorar la legibilidad?

Answer 1

Lo que está haciendo es calcular $\mathbb{E}(X^{\color{red}{2}})$. Isometría de Itô permite calcular $\mathbb{E}(X^{\color{red}{2}})$; ¡Usted está interesado en $\mathbb{E}(X)$!

Es bien sabido el estocástico integral $$\int_0^t H_s \, dW_s$$ has expectation zero for any (nicely measurable) function $H $ such that $$\mathbb{E} \left( \int_0^t H_s^2 \, ds \right)<\infty$$ for any $t # \geq 0$. Para probar esto, recordar que

$$M_t := \int_0^t H_s \, dW_s$$

es una martingala que implica ese $$\mathbb{E}(M_t)= \mathbb{E}(M_0)=0, \qquad t \geq 0$ $ desde martingalas tienen expectativa constante.