Intersección de dos parábolas

Question

Problema : Considera dos parábolas tales que sus ejes de simetría forman un ángulo recto. Demostrar que los cuatro puntos de intersección se encuentran en una circunferencia común (se supone que existen esos cuatro puntos). ¿Podría ayudarme a obtener una no algebraico solución? (La algebraica que hice se da a continuación).

Solución algebraica:

Hay un enfoque algebraico muy sencillo, basta con introducir un sistema de coordenadas cartesianas tal que las parábolas estén dadas por ecuaciones:

$$y = \alpha_1 x^2 + \beta_1 $$ $$x = \alpha_2 y^2 + \beta_2 $$

y escalando, sumando y simplificando podemos obtener la siguiente ecuación circular ordinaria (el lado derecho es positivo porque las parábolas se cruzan): $$ \left(x-\frac{1}{2\alpha_2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2\alpha_1}\right)^2 = \frac{-\beta_1}{\alpha_1} + \frac{-\beta_2}{\alpha_2} + \left(\frac{1}{2\alpha_1}\right)^2 + \left(\frac{1}{2\alpha_2}\right)^2$$

Solución no algebraica: ??

Answer 1

He aquí algunas soluciones.

Menos algebraico: Sean los focos de las parábolas F y G. Sean A,B dos de los puntos de intersección y C el punto medio de AB. Traza perpendiculares desde C a las directrices de las dos parábolas que se cruzan con las curvas en P y Q y las directrices en R y S. Entonces las tangentes a las dos parábolas en P y Q son paralelas a AB. Dibuja las perpendiculares a las tangentes en P y Q que se encuentren con los ejes de sus respectivas parábolas en L y T, y dibuja la perpendicular a AB en C de modo que se encuentre con los dos ejes en M y N como en la figura.

Entonces GLQS, GMCQ, FRPT, FRCN son paralelogramos. Sea O en MN tal que la distancia al eje FN es HO=UG. Entonces NO=CM por lo que PMOT es también un paralelogramo, por lo que la distancia de O al eje GM es OK=FV. El punto O así definido está en la mediatriz del segmento que une cada par de puntos de intersección, por lo que son cuerdas de una circunferencia común.

Medio algebraico: Esta es esencialmente la solución de @Day Late Don con una imagen. Sea la distancia de la directriz de una parábola a su foco F $h$ y la distancia al eje de la otra parábola sea $g$ y las distancias respectivas para la otra parábola con foco G sean $j$ y $f$ . Sea A un punto de intersección y las distancias de A a los ejes sean $x$ y $y$ como en el diagrama. Sea O el punto de distancia $f+j$ de la directriz de la parábola con foco G y distancia $h+g$ de la otra directriz.

Entonces aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos rectos GPA, FQA y AKO tenemos $$ \begin{align} (x+f-j)^2+y^2 & =(x+f)^2\\ y^2+j^2 & = 2j(x+f) \\ (g-y-h)^2+x^2 & = (g-y)^2\\ x^2+h^2 & = 2h(g-y) \\ AO^2 & = (x-j)^2+(y+h)^2\\ & = x^2+y^2+j^2+h^2-2xj+2yh \\ & = 2(jf+gh) \end{align} $$ La última expresión no depende de A, por lo que la distancia de cada punto de intersección a O es la misma, por lo que son cíclicas. Esto parece un montón de álgebra, pero lo he incluido porque en realidad sólo necesita el teorema de Pitágoras y sumas y diferencias, por lo que en teoría podría resolverse con una regla y un compás.

Más algebraico: Me pareció prometedor pero falta una prueba no algebraica de que el centroide del cuadrilátero definido por los puntos de intersección está en la intersección de los ejes. Esto se deduce fácilmente del enfoque algebraico como en la pregunta (los ejes son $y=0$ y $x=0$ ), ya que los cuárticos tienen términos cúbicos nulos, por lo que la suma de las raíces es $0$ . No he encontrado una prueba más gráfica de este paso.

No obstante, dado esto, sean AB y CD los segmentos que unen los pares de puntos de intersección y M y N sus respectivos puntos medios, de modo que el punto medio de MN sea el centroide en la intersección de los ejes. Se trazan perpendiculares desde M y N a la directriz de una de las parábolas que se encuentran con la curva en Q y P.

Entonces AB es paralela a la tangente en Q y CD es paralela a la tangente en P. Como M y N son equidistantes de cada eje, P y Q son reflexiones en el eje de la parábola en la que están, al igual que las tangentes en P y Q. Por tanto, $\angle ABX = \angle DCW$ y un argumento similar en sentido contrario da $\angle YCB = \angle DAX$ y se deduce que $\angle DAB + \angle BCD = \pi$ y ABCD es cíclico.

Answer 2

Afirmé en un comentario a la respuesta de @Zander que "un diagrama más limpio podría incluso hacer [su prueba 'algebraica mínima'] una prueba sin palabras". Bueno, he hecho una pasada de limpieza por diversión, pero como el orden de construcción de los elementos no está necesariamente claro, ofreceré una Prueba con Palabras. (En realidad, como he tratado de reducir el desorden de etiquetas en las imágenes, mi prosa tiene desorden de descriptores, por lo que esto es realmente una Prueba Con Demasiadas Palabras).

Dadas las parábolas con focos $F$ y $G$ y el acorde común $AB$ (todos marcados con estrellas), dejemos $C$ sea el punto medio de $AB$ , dejemos que $M$ y $N$ sean los puntos donde la bisectriz perpendicular de $AB$ se encuentra con los ejes de las parábolas (como se muestra), y que $O$ sea el punto en $MN$ tal que $NO = CM$ .

En la primera imagen, dejamos caer una perpendicular desde $C$ , a través de $P$ en una parábola, a la correspondiente directriz. Las propiedades clásicas de la reflexión garantizan que la recta tangente que pasa por $P$ es paralelo a $AB$ y que es perpendicular a la hipotenusa de (verde) $\triangle F$ . En consecuencia, esa hipotenusa es paralela a $MN$ y tenemos $\triangle F \cong \triangle N \cong \triangle O$ en particular, la altura de $\triangle O$ es congruente con la altura de $\triangle F$ .

Asimismo, en la segunda figura, la perpendicular de $C$ determina $Q$ , tal que la tangente que pasa por $Q$ es paralelo a $AB$ y perpendicular a la hipotenusa de (naranja) $\triangle G$ . Así, $\triangle G \cong \triangle M \cong \triangle O$ con la anchura de $\triangle G$ que coincide con la anchura de $\triangle O$ .

El resultado: El desplazamiento de $O$ de la intersección de los ejes de las parábolas viene determinada por la distancia de cada parábola al foco y, por tanto, es independiente de la elección de la cuerda común $AB$ . Como $O$ se encuentra en la bisectriz de cada una de estas cuerdas comunes, es el centro de una circunferencia que contiene los cuatro puntos de intersección de las dos parábolas.

Nota. El desplazamiento de $O$ de los ejes es independiente de la distancia de $F$ al eje a través de $G$ e independiente de la distancia a $G$ al eje a través de $F$ . Es decir, podemos mover el " $F$ " hacia arriba y hacia abajo, y la parábola " $G$ " parábola a la izquierda y a la derecha, y $O$ seguirá siendo el centro del círculo que contiene los puntos de intersección. (Por supuesto, el radio del círculo cambia.) Interesante.

Nota. Mi figura hace un poco de trampa, porque he aproximado las parábolas con elipses en Photoshop (que realmente no es la mejor herramienta para este trabajo).