Encontrar todas las funciones de enteros positivos $f(f(n))=n+2$

Question

Esta es una palabra muy interesante problema que me encontré en un viejo libro de texto de la mina. Así que yo sé que tienen algo que ver con la inducción, lo que lleva a la más corta, la más simple de las pruebas para la comprobación de la cantidad finita de funciones, pero aparte de eso, el libro de texto no dio pistas realmente y realmente no estoy seguro acerca de cómo acercarse a él. Cualquier guía de sugerencias o ayuda sería verdaderamente apreciada. Gracias de antemano :) Así que de todos modos, aquí va el problema:

Deje $\mathbb{N}^+$ denota el conjunto de los enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+$, que es estrictamente creciente y tal que para todos los enteros positivos $n$, $f(f((n))=n+2.$

Así que me encontré con la función de $f(n)=n+1$ obras, pero no estoy seguro de si es la única posibilidad, y aún así, como para demostrar que es la única solución.

Answer 1

Lema: $f(k)>k$.

PF: está claro que $f(1)≥1$ y que $f(1)\neq 1$ así que la afirmación es verdad $k=1$. Inductivamente Supongamos que es cierto hasta $k-1$. Entonces $f(k-1)>k-1$ % que $f(k-1)≥k$. Desde $f(k)>f(k-1)$ hemos terminado.

Reclamo: $f(n)=n+1$

PF: De hecho el lema muestra que $f(n)≥n+1$. Pero $f(f(n))=n+2\implies f(n)≤n+1$ y hemos terminados.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(f(1))=3$ y $f(1)\ge 1$

No podemos tener $f(1)=1$ porque eso haría $3=f(f(1))=f(1)=1$

Si teníamos $f(1)=3$, tendríamos $3=f(f(1))=f(3)$ y $f$ está aumentando terminantemente, así que esto es una contradicción. Como sería si $f(1)=n\gt 3$ cuando tendremos $3=f(f(1))=f(n)\gt f(1)\gt 3$.

Así que tenemos $f(1)=2$ y luego $f(2)=f(f(1))=3$y si $f(r)=r+1$ tenemos $r+2=f(f(r))=f(r+1)$ y se puede demostrar por inducción.

Answer 3

Está bastante claro que $f$ no fija un $k$, es decir, $f(k) \neq k$ cada $k > 0$. Por otra parte, porque $f$ es estrictamente creciente, tenemos $f(k) > k$. Por lo tanto, uno puede escribir $f(k) = k + r_k$ $r_k > 0$. Entonces, dado cualquier $k$, tenemos:

\begin{align*} k + r_k + r_{k + r_k} = f(k + r_k) = k + 2 \end{align*}

Lo que significa que: $r_k + r_{k +r_k} = 2$, rendimiento que $r_k = 1$ cada $k$.