¿Cuándo es un vector "pegado" al origen?

Question

Deje $V$ ser un verdadero finito-dimensional espacio vectorial (supongo que esto obliga a $V$$\mathbb{R}^n$). Mi intuición es que un vector $v\in V$ debe ser "pegado" a la de origen, ya que el origen es el único canónica cosa que $V$ tiene (ni siquiera la base canónica, y sospecho que el origen (aka. el vector cero) es el único vector que tiene la misma representación que en cada caso).

Pero, en muchos contextos, los vectores no son considerados como "pegados" a la de origen, en particular cuando pensamos en ellos como "desplazamientos": un "vector de desplazamiento" de $a$ $b$puede ser el mismo como un vector de desplazamiento de $c$ $d$bajo condiciones adecuadas. (Intuitivamente, un "vector de desplazamiento" se puede mover alrededor sin lo que es un vector diferente.)

En contraste, una "posición" en el espacio Euclidiano no puede ser movido alrededor sin hacer de ello una posición diferente, desde una posición sólo es igual a sí mismo y no en otra posición.

Así que "desplazamientos" y "posiciones" puede ser escrito como vectores, pero claramente no se comportan de la misma.

En el cálculo de los textos, los autores suelen alternar entre los vectores que están "pegados" a la de origen, y los vectores que no están "pegados" a la de origen. Pero me parece que esto oscurece la naturaleza de lo que un vector es, y me gustaría una rigurosa distinción.

Spivak es Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial, Volumen I (Capítulo 3: La tangente bundle) sugiere que el lenguaje más apropiado es el de la tangente paquetes. Es decir, en cada punto de $x\in\mathbb{R}^n$ tenemos una copia de $\mathbb{R}^n$: su espacio de la tangente. Así, un punto junto con su espacio de la tangente se parece a $(x,\mathbb{R}^n)$. Si dejamos $x$ variar a lo largo de $\mathbb{R}^n$, supongo que el conjunto de todos los tangente espacios serían el conjunto de $\{(x,\mathbb{R}^n) \ | \ x\in\mathbb{R}^n\}$, que se parece sospechosamente a $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$, es decir. $\mathbb{R}^{2n}$.

Ahora un "vector de posición" parece ser un vector en el original ${\mathbb R}^n$, y un "vector de desplazamiento" a partir de las $x \in {\mathbb R}^n$ parece ser un vector en el espacio de la tangente $(x, {\mathbb R}^n)$. Luego de un espacio vectorial siempre tiene un origen, y de un vector es siempre "pegado" a ese origen. Lo que nos permite "mover " vectores" con la impunidad es que ${\mathbb R}^n$ es isomorfo a ${\mathbb R}^n$.

Por otra parte, una motivación para la tangente espacios parece ser, precisamente, para formalizar la idea de "desplazamientos" en un colector. Cómo esto se relaciona con la idea de afín espacios (que también parecen ocuparse de "desplazamientos"), no sé.

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1. Es parte de la discusión anterior, ¿correcto?
2. Cuando es un vector "pegados" a la de origen?
3. ¿Qué es una rigurosa formulación de "vectores de posición" y "desplazamientos vectores"? Hace uso de la tangente haces? Hace uso afín espacios?

Answer 1

Creo que es útil para pensar acerca de estos conceptos de manera arbitraria colector. En ese entorno, no hay tal cosa como un vector de posición, debido a que el colector no puede ser un espacio vectorial; posiciones especificado lugar por coordenadas locales.

La única razón por la que podemos identificar posiciones con vectores en el espacio Euclidiano y moverlos es que (1) el espacio Euclidiano es un espacio vectorial, y (2) el espacio que lleva una conexión afín, que ofrece un concepto de transporte paralelo. Ni siquiera se puede "moverse" tangente vectores de manera arbitraria colector a menos que tenga una conexión (aunque cada Riemann colector viene con uno natural, la de Levi-Civita de conexión); y además, como Ted dice en su respuesta, usted no puede imaginar aquellos vector tangente pegados "donde quieras", a menos que la tangente paquete es trivializable. La tangente paquete en un espacio vectorial es siempre trivializable.

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Un muy buen ejemplo a tener en cuenta es que las coordenadas polares en el plano Euclidiano. Aquí una posición especificada por $(r,\theta)$ o, especialmente en la física y la ingeniería, un "vector de posición" $r\mathbf{\hat{r}}$. El primero es el colector de punto de vista; el último explota el hecho de que estamos sentando coordenadas curvilíneas en el qué, en el fondo, es un espacio vectorial. Pero usted aprenderá rápidamente esta cosa que se llama vector de posición no es en realidad un vector de posición, debido a que el vector $\mathbf{\hat{r}}$ cambios de punto a punto. Ella no vive en el espacio subyacente, sino que vive en la tangente de paquete, y la tangente espacios cambio de punto a punto. Sólo somos capaces de pensar en él como un auténtico vector de posición porque nos imaginamos el desarraigo de su espacio de la tangente y pegar en su lugar el espacio de la tangente en el origen. Pero, repito, en un colector general, en el espacio no es necesariamente un espacio vectorial y no necesariamente tiene un vector cero.

En general, para especificar una posición en la que apenas da sus coordenadas locales, y es que: no necesitamos un vector para especificar una posición. Usted podría preguntarse, entonces, donde los vectores de velocidad, puesto que estamos tan acostumbrados a obtener los vectores de velocidad mediante la diferenciación de vectores de posición. Pero los vectores de velocidad en arbitraria colectores no vienen de la diferenciación de vectores de posición. Ellos vienen de la diferenciación parcial en las direcciones especificado por las coordenadas locales. Más precisamente, dada coordenadas locales $(x_1, x_2)$, que representan un vector de velocidad como el operador $a\frac{\partial}{\partial x_1}+b\frac{\partial}{\partial x_2}$. (Esto es parte de la razón es, creo, muchas personas luchan con la definición abstracta de un vector tangente. Durante años se ha permitido pensar en un vector de velocidad, como la derivada de un vector de posición.)

Usted puede ver cómo los dos puntos de vista divergen cuando se le pregunta a un físico o un ingeniero dígale a los estudiantes de pregrado de cómo se representa la velocidad o la aceleración de los vectores en el plano en coordenadas polares. Lo más probable, van a sacar una buena foto que muestra por qué el (tiempo) derivados (a los largo de la curva) de $\mathbf{\hat{r}}$$\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}}$. Pero la imagen sólo funciona si puedes transporte paralelo a la tangente base de vectores $\mathbf{\hat{r}}$$\mathbf{\hat{\theta}}$, en un punto posterior de la espalda a lo largo de la curva en el espacio de la tangente en el punto inicial, y es exactamente este aparentemente inocente función de la imagen que requiere una conexión afín en general. Lo que el cálculo está haciendo en realidad es la explotación de la norma Euclidiana de conexión para especificar la derivada covariante / símbolos de Christoffel de planos en coordenadas polares.

Answer 2

Su discusión es correcto, pero algo especial a $\mathbb{R}^n$. Si tratas de hacer lo mismo en una esfera, estás en problemas. Usted todavía tiene una tangente de un paquete con un $\mathbb{R}^2$ en cada punto, pero no se puede "mover los vectores en torno a" de la misma manera que usted puede en $\mathbb{R}^n$, debido a que cualquier campo vectorial continuo en una esfera debe ser 0 en algún lugar. Así que si usted comienza con un vector distinto de cero en algún punto de la esfera, no se puede continuamente asignar el correspondiente vector distinto de cero en todos los puntos de la esfera.

Más generalmente, de un colector en el que es posible "mover los vectores alrededor" de un espacio de la tangente a otro continuamente está llamado parallelizable colector (búsqueda de ese término para una definición más precisa).

Answer 3

Es fácil probar que un isomorfismo de un espacio vectorial $V$ a otro, $W,$ debe asignar el origen de $V$ a el origen de las $W$. Pero para cualquier no-origen de vectores $v\in V$ y el no-origen del vector en $w\in W,$ hay algunas isomorfismo que los mapas de $v$ $w.$"Isomorfismo" en este caso significa una asignación que se

• lineal, y
• uno-a-uno, y
• en.

Uno podría decir que un vector de posición es un punto en un espacio afín y un vector de desplazamiento, lo que lleva a algunos de los vectores de posición de los demás, es un punto en un espacio vectorial. En un espacio afín no hay privilegiado punto que es el "origen"; en un espacio vectorial es que hay uno. La "privilegiada" el desplazamiento es la posición de desplazamiento cero; no hay ninguna posición de privilegio.

Uno puede mirar como esta: Supongamos que John Doe y Richard Roe no están de acuerdo en que la ubicación en el espacio físico debe ser considerado como el origen. Que tanto intento de calcular una combinación lineal de varios puntos. Digamos que de esos hay varios puntos en Bennington, Vermont y Pyongyang, Corea del Norte y la ubicación de la Estación Espacial Internacional en el mediodía de hoy (hora de Greenwich). No están de acuerdo en los resultados debido a que no están de acuerdo en donde el origen es. Excepto que si la suma de los coeficientes es$1,$, entonces la voluntad de acuerdo, a pesar de sus diferentes opción de origen. Una combinación lineal en la que la suma de los coeficientes es $1$ se llama una combinación afín. Entonces uno podría decir que un espacio vectorial es un conjunto de puntos equipado con una operación de combinación lineal satisfacer las algebraica de las leyes de las combinaciones lineales, y un espacio afín es un conjunto de puntos equipado con una operación de combinación afín de satisfacer el algebraicas leyes de afín combinaciones. Y un afín espacio se convierte en un espacio vectorial tan pronto como usted elija uno de sus puntos de origen.

Answer 4

(Esto es más de un comentario largo de una respuesta) Vectores que representan diferentes cosas, como usted dice, y algunos son naturales para corregir en el origen, como en las posiciones, y algunos pueden moverse libremente, tales como traducciones. Algunos incluso están pegados a otros puntos, como campos vectoriales.

Los vectores pueden ser usados para representar cada una de estas cosas, y qué tipo de cantidad vectorial que representa es lo que decide si está pegada a la de origen o no. Por lo tanto, sugiero que, en todo momento son conscientes acerca de lo que el vector que están trabajando con los representa (y recuerde que no puede ser más que una representación, a la vez, como una posición de ser traducida).