En la INTRODUCCIÓN del capítulo 1 del Bebé Rudin, dice
El número racional sistema es inadecuado para muchos propósitos, como campo y como un conjunto ordenado.
La adición y la multiplicación de números racionales son conmutativas y asociativas, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Tanto 'cero' y 'uno' existe.
Además, como recuerdo, los números racionales son los más pequeños subcampo de $\bf{C}$. Así exactamente lo que hace Rudin decir con "inadecuado como un campo"?
Rudin no es cuestionar $\mathbb{Q}$'s estado como un campo — que cuestiona la idoneidad para hacer el álgebra y el análisis.
Para los fines de álgebra, $\mathbb{Q}$ no es muy agradable para trabajos de campo: por ejemplo, muchos (la mayoría?) polinomios incluso no tiene una raíz, dejar solo factor completamente, y tratar correctamente con esta deficiencia es el tema de las fronteras de la investigación matemática!
(para la comparación, aunque no todas las polinomio sobre $\mathbb{R}$ tiene una raíz, tiene una muy simple relación con los números complejos $\mathbb{C}$, un campo en el que cada polinomio no constante tiene una raíz)
Del mismo modo, para propósitos de análisis, $\mathbb{Q}$ no es un muy buen conjunto ordenado; por ejemplo, se forma un totalmente desconectado de espacio, haciéndolos casi inútil para la captura de básica familiar geométricas nociones tales como la continuidad.
El autor se refiere a que $\mathbb Q$ como un ordenado campo es incompleta, es decir, cada secuencia de Cauchy en $\mathbb Q$ converge en $\mathbb Q$, o, equivalentemente, no todo subconjunto no vacío de a $\mathbb Q$ que está delimitado por encima tiene al menos un límite superior en $\mathbb Q$. Esto hace que $\mathbb Q$ "insuficiente" para muchos propósitos en el análisis, donde el que menos-límite superior de la propiedad es necesaria. Por ejemplo, cuando se $a$ es un número racional positivo y $n$ un entero positivo, desea que la ecuación de $x^n=a$ tener una solución; esto no siempre sucede en $\mathbb Q$.
$\mathbb Q$ puede ser completada por la ampliación del conjunto de $\mathbb R$ de los números reales. Hay dos maneras principales por las que esto puede ser logrado: ya sea mediante la consideración de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en $\mathbb Q$, o por medio de Dedekind cortes. Se puede demostrar que $\mathbb R$ como un completo ordenó campo es único: cualquiera de los dos completa ordenó campos son isomorfos.
Tu comentario de "Adición y multiplicación de números racionales son conmutativas y asociativas, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Tanto en "cero" y " uno "existir" es inapropiado. Por supuesto que todo esto es verdad porque de lo contrario $\mathbb Q$ no sería un campo.
Sin embargo, tan lejos como el Análisis se refiere, $\mathbb Q$ es inadecuado debido a que:
Y así sucesivamente.
Para agregar a la otra (excelente) de las respuestas, los racionales son insuficientes incluso para la matemática elemental. Comenzando con sólo una vaga la escuela a nivel de idea de qué son los números, cuando dibujamos la gráfica de (digamos) $y=x^2-2$, visualmente es obvio que la gráfica cruza el $x$ eje. Con la escuela de la aritmética, incluso podemos calcular a la alta precisión, justo donde los puntos de cruce. Pero los puntos no existen si estamos restringidos a los números racionales. Del mismo modo, bajo esta restricción, sin sentido, puede ser de incluso geométricas simples proporciones, como entre la diagonal y el lado de un cuadrado o de la circunferencia y el diámetro de un círculo (aunque la prueba de la última imposibilidad necesidad de mucha más avanzados de matemáticas).
Otra manera de mirarlo es que hay mucho número de interés o importancia en cálculo que no son racionales, es decir, números irracionales como $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$... De hecho, el conjunto de números irracionales es un subconjunto mucho mayor de los números verdaderos que es el conjunto de racionales.
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