Calcular el tiempo con velocidad como una función de distancia

Question

Estoy tratando de buscar en la Brachistochrone problema como un ejemplo de cálculo de variaciones. En este problema tenemos dos puntos en el espacio 2D, donde el segundo es abajo y a la derecha de la primera, y tenemos que dibujar una curva entre dos puntos tales que el tiempo que tarda una pelota ruede hacia abajo de la curva se reduce al mínimo.

A partir de un cálculo de variaciones punto de vista, queremos encontrar una función de $f:[x_1, x_2] \rightarrow \mathbb{R}$, con condiciones de contorno de la $f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2$ que minimiza el funcional $T[f]$ que representa el tiempo necesario para que la pelota ruede hacia abajo de la curva. Estoy atascado tratando de averiguar qué es exactamente esta funcional debe ser.

Es muy fácil calcular la velocidad de la bola de desplazamiento hacia abajo de la curva en cualquier posición dada, utilizando la energía potencial y cinética. También podemos calcular la aceleración utilizando la pendiente de la curva. Mi pregunta es, teniendo en cuenta esta información, ¿cómo podemos obtener el tiempo que tarda la pelota en llegar de un punto a otro?

He encontrado un par de fuentes que calcular este funcional de manera explícita, y terminan con la siguiente expresión: $$ T[f] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{\frac{1+(f'(x))^2}{2gf(x)}} dx $$ donde $g$ es la constante gravitacional. Esto es por lo general deriva de la primera expresan el tiempo como: $$ T[f] = \int \frac{ds}{v} $$ Sin embargo, yo realmente no entiendo cómo esta expresión se obtiene, y el uso de la longitud de arco de la fórmula $ ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} $ no se siente muy riguroso. Prefiero tener un modo riguroso de obtención de la funcional.

En un sentido más general, estoy solicitando: si sabemos que la aceleración de la bola en cualquier punto único, ¿cómo podemos saber cuánto tiempo se tarda en ir de un punto a otro?

Answer 1

La formulación del problema requiere que se inicia desde el reposo, la curva tangente es paralela al eje y. Toda la energía potencial se convierte en energía cinética. Ya que consideramos que la energía y la conversión implica a la velocidad de la energía cinética y la energía potencial como la de desplazamiento vertical, la aceleración de no entrar en una formulación definitiva.

$$ mgy = \frac12 m v^2\rightarrow v=\sqrt{2 g y} $$

Para un mínimo de tiempo tomado

$$t_2-t_1 = \int dt = \int \frac{ds}{v}=\int \frac{\sqrt{1+ y^{'2}}dx}{\sqrt{2 g y}}$$ $$F(y(x))= \int \frac{\sqrt{1+ y^{'2}}dx}{\sqrt{ y}}$$

Euler Lagrange $ F_y-y'\dfrac{\partial F }{\partial y^{'} }=const. $ resultados en la educación a distancia de la cicloides como :

$$ \dfrac{ yy^{''}}{1+y^{'2}}= \frac12$$

que es independiente de la aceleración debido a la gravedad $g$ mientras que es constante. La constante de cicloides tamaño es una constante arbitraria $2a$, que es el radio de los imaginarios rodadura.

Con respecto a la vertical de conservación de la energía, de nuevo tenemos desde el reposo a la posición mínima (cero componente de la velocidad vertical)

$$ 2a = \frac12 g T^2 \rightarrow T=\sqrt{ \dfrac{4a}{g}} $$

y sólo $ \sqrt{ \dfrac{2y}{g}} $ en puntos intermedios. Depende de lo grande que un cicloides que desea construir.

Ya que el tamaño es arbitraria y cuando nos fijar su tamaño, su tiempo para el descenso al punto más bajo también se fija como anteriormente.. haciendo que el tiempo se deslice a su punto más bajo desde cualquier punto de partida en reposo también fija... marcando el tautochrone propiedad de un cicloides.