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Question

Difícil pregunta de alguna prueba en algún lugar (recuerdo).

$$\prod_{x=2}^\infty\frac{x^4-1}{x^4+1}$$

$x$ es, por supuesto, un número entero.

Answer 1

Escriba %#% $ #% donde $$\frac{x^4 - 1}{x^4+1} = \frac{(x-a_1)\ldots(x-a_4)}{(x-b_1)\ldots(x-b_4)}$ son las raíces de $a_j$ y $x^4-1$ las raíces de $b_j$. Luego el producto parcial $x^4+1$ $ ahora (con cuidado) tome el límite como $$ \prod_{x=2}^n \frac{x^4 - 1}{x^4+1} = \frac{\Gamma(n+1-a_1)\ldots \Gamma(n+1-a_4) \Gamma(2-b_1) \ldots \Gamma(2-b_n)}{\Gamma(2-a_1) \ldots \Gamma(2-a_4) \Gamma(n+1-b_1) \ldots \Gamma(n+1-b_4)}$.