Si $f(f(x))=x^2-x+1$, ¿qué es $f(0)$?

Question

Supongamos que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sin restricción alguna. Si $f(f(x))=x^2-x+1$, ¿cómo puede uno encontrar $f(0)$? ¿Es posible?

Gracias de antemano

Answer 1

Tenemos

$$f(f(f(x)))=f(x)^2-f(x)+1.$$ Since $f(f(0)) = 1$ we get that $% $ $f(1)=f(0)^2-f(0)+1.$que es

$$f(0)^2-f(0)+1-f(1)=0.$$ Repeating the process, since $f(f(1)) = 1$ we get that $% $ $f(1)=f(1)^2-f(1)+1.$que es

$$(f(1)-1)^2=f(1)^2-2f(1)+1=0.$$ Thus, $f (1) =1.$ So it is $$f(0)^2=f(0),$$ from where $f (0) = 0 $ or $f (0) = 1. $

Si $f(0)=0$ y $f(f(0))=f(0)=0$ que contradice $f(0)=1.$ por lo tanto, debe ser $f(0)=1.$

Answer 2

$f(f(0))=f(f(1))=1$. Aplicar una vez más $f$: $f(f(f(0)))=f(f(f(1)))=f(1)=f(0)^2-f(0)+1=f(1)^2-f(1)+1$.
Que conduce a $f(1)=1$, por lo tanto, $f(0)^2-f(0)=0$ y $f(0)$ sólo puede ser $0$ o $1$.
Pero $f(0)=0$ $f(f(0))=0$, % contra $f(f(0))=1$, que $\color{red}{f(0)=1}$.

Answer 3

Si tal función $f$ existe,$f(0) = 1$, pero dicha función $f$ no existe. Ver el artículo:

• Cuando se $f(f(x)) = az^2 +bz+c$?
  R. E. Rice, B. A. Schweizer y Sklar
  La American Mathematical Monthly
  Vol. 87, N ° 4 (Abr., 1980), pp 252-263
  (Link a PDF no detrás de la JSTOR paywall)

Edit: esta función no existe en $\mathbb{C}$! O en cualquier algebraicamente cerrado campo de característica cero. Pero usted puede tener una función en los reales. Ver el epílogo de la de papel (página 262).

Answer 4

Creo que es más fácil de lo que parece. Sabes que $$f(f(0))=1,$ $ entonces $$f(1)=f(f(f(0)))=f(0)^2-f(0)+1,\;(*)$ $ sino $ de $$f(f(1))=1^2-1+1=1,$ $$f(1)=f(f(f(1)))=f(1)^2-f(1)-1$ $ y se puede calcular $f(1)$ desde aquí, y luego sustituir su valor en $(*)$