¿Cuál es la definición de un autovector generalizado?

Question

Estoy estudiando Vectores Propios Generalizados. Parece que podemos definirlos como $\mathbf{p}_i$ en esta ecuación:

$$ (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^{k}\mathbf{p}_i = \mathbf{0} $$

en la que $k$ es la multiplicidad algebraica de $\lambda$ en $ |\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}|=0$. También puede ser definido como:

$$ (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{p}_i = \mathbf{p}_{i-1},i=1\ldots,\mathbf{p}_{0}=\mathbf{0} $$

o al menos eso es lo que he aprendido (si algo está mal, por favor házmelo saber).

¿Son estas definiciones equivalentes? Quiero decir ¿$ (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^{k}\mathbf{p}_i = \mathbf{0} $ si y solo si $ (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{p}_i = \mathbf{p}_{i-1} $?

Puedo probar la primera, si la segunda es verdad (multiplicando ambos lados por $ (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})$ k veces), pero ¿cómo puedo probar la segunda, dado que la primera es verdadera?

Gracias

Answer 1

La definición más general es la primera que diste. Un vector no nulo $\mathbf{v}$ es un vector propio generalizado si y solo si $(A - \lambda I)^k \mathbf{v} = \mathbf{0}$ para algún $k \in \mathbb{N}^+$.

La segunda definición se usa más comúnmente para construir las cadenas de vectores generalizados para la forma normal de Jordan.

Supongamos que $\mathbf{v}$ es un vector propio generalizado. Entonces existe algún $k$ tal que $$(A - \lambda I)^k \mathbf{v} = \mathbf{0}$$ Supongamos además que $k$ es el entero más pequeño con esta propiedad. Entonces definimos $$\mathbf{v}_i = (A - \lambda I)^{k-i}\mathbf{v}$$ y llamamos a esto una cadena de vectores propios generalizados de longitud $k$ $$\mathcal{C} = \{\mathbf{v}_1,\ \cdots,\ \mathbf{v}_{k}\}$$ Puedes verificar fácilmente que $\mathbf{v}_k = \mathbf{v}$ y que $\mathbf{v}_1$ es de hecho un vector propio de $\lambda$. Para cada vector propio generalizado, habrá asociada una cadena de vectores propios generalizados, cuya longitud corresponde al índice del vector. A la inversa, si construyes una cadena de un vector propio, entonces cada miembro de la cadena será un vector propio generalizado.

Estas cadenas son las que determinan la estructura de bloque de Jordan. Cada vector propio tendrá una cadena asociada y si los vectores propios que lideran las cadenas son linealmente independientes, entonces también lo serán las cadenas que generan. El número de cadenas linealmente independientes determina el número de bloques de Jordan y el tamaño de las cadenas determina el tamaño de los bloques correspondientes.

Answer 2

Si bien es cierto que los vectores propios generalizados aparecen en muchos cálculos con un índice $i$, dicho índice no debería aparecer en su definición.

Desde un punto de vista taxonómico (no didáctico), el orden adecuado de las definiciones sería el siguiente:

Dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$ y una transformación lineal $A: V \to V$, un vector no nulo ${\bf p} \in V$ se llama un vector propio generalizado de $A$ si existe un $\lambda \in K$ y un $k \in {\mathbb N}_{\geq 1}$ tal que $$(A-\lambda I)^k\>{\bf p}={\bf 0}\ .$$ Cuando $k=1$, el vector ${\bf p}$ simplemente se llama un vector propio.

Answer 3

Las definiciones no son equivalentes. Sea $\mathbf{A}$ la matriz identidad de tamaño $n$ por n. Entonces $\mathbf {A - I = 0}$. El problema es que hay varias cosas involucradas aquí, el polinomio característico, el polinomio mínimo y los divisores elementales. El espacio propio generalizado para el eigenvalor $\lambda$ tiene, como dices, dimensión $k$ donde $k$ es la mayor potencia de $(X-\lambda)$ que divide al polinomio característico. Los divisores elementales son un conjunto especial de potencias de $(X-\lambda)$ cuyos exponentes suman $k$.

Tu segunda definición funciona para cada divisor elemental $(X-\lambda )^d$: puedes encontrar un vector $\mathbf {p}$ que es un eigenvector generalizado que no aparece en ningún otro espacio correspondiente a un divisor elemental, de manera que una base para el espacio propio generalizado correspondiente es $$\mathbf p,\ (A-\lambda I)(\mathbf p), \ \cdots ,\ (A-\lambda I)^{d-1}(\mathbf p).$$ Cuando llegues a los eigenvectores generalizados, comenzarás a trabajar con la segunda "definición", pero hasta que tu instructor introduzca el tema de los divisores elementales y los bloques de Jordan, concéntrate en cuando todos los eigenvectores abarcan el espacio vectorial.