Si el campo subyacente es $\mathbb R$ o $\mathbb C$ no hace ninguna diferencia. El rango de $f$ es igual al rango de su representación de la matriz de $M=I\otimes A-A^T\otimes I$, pero el rango de una verdadera matriz $\mathbb R$ es igual a su rango de más de $\mathbb C$. Así, podemos simplemente asumir que el campo de tierra es complejo.
Por un cambio de base, que además puede suponer que $A$ ya está en su Jordan en la forma (en la secuela, si el Jordán formulario contiene una submatriz de la forma $\lambda_k I_{m_k}$, esta submatriz será visto como una suma directa de $m_k$ trivial Jordania bloques). Por la clasificación de nulidad teorema, el problema se reduce a encontrar todos los centralisers de un Jordan en la forma $A$. Indicar que un bloque de Jordan con autovalor $\lambda$ y el tamaño de la $p$$J_p(\lambda)$. Si imponemos una estructura de bloques en $X$ que se ajusta a la estructura del bloque de $A$, podemos inspeccionar la ecuación de $AX=XA$ blockwise. Ahora, es una técnica sencilla pero muy aburrido ejercicio para demostrar que:
- Si $Y$ $p\times q$ matriz rectangular, a continuación, $J_p(\lambda_1)Y=YJ_q(\lambda_2)$ algunos $\lambda_1\ne\lambda_2$ si y sólo si $Y=0$.
- Si $Y$ $p\times q$ matriz rectangular, a continuación, $J_p(\lambda)Y=YJ_q(\lambda)$ si y sólo si $Y$ tiene la siguiente forma, donde a $T$ denota cualquier $\min(p,q)\times\min(p,q)$ triangular superior de la matriz de Toeplitz:
$$
\begin{cases}
Y=T & \text{if } p=q>1,\\
Y=\pmatrix{T\\ 0} & \text{if } p>q>1,\\
Y=\pmatrix{0, T} & \text{if } 1<p<q,\\
\text{the first entry of } Y \text{ is zero} & \text{if } p>q=1,\\
\text{the last entry of } Y \text{ is zero} & \text{if } p=1<q,\\
Y \text{ is any scalar } & \text{if } p=q=1.
\end{casos}
$$
De ello se sigue que si $A$ se descompone en una suma directa de los bloques de Jordan
$A = \bigoplus_{i=1}^m J_{p_i}(\lambda_i)$, la nulidad de $f$ está dado por $\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m r(i,j)$, donde
$$
r(i,j)=
\begin{cases}
0 & \text{if } \lambda_i\ne \lambda_j,\\
\min(p_i,p_j) & \text{if } \lambda_i=\lambda_j \text{ and } \min(p_i,p_j)>1,\\
\max(p_i,p_j)-1 & \text{if } \lambda_i=\lambda_j \text{ and }
\max(p_i,p_j)>\min(p_i,p_j)=1,\\
1 & \text{if } \lambda_i=\lambda_j \text{ and } p=q=1
\end{casos}
$$
y
$\operatorname{rank}(f)=n^2-\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m r(i,j)$. En el caso especial donde $A$ es diagonalisable (de modo que $m=n$ $p_i=1$ todos los $i$), esto se reduce a $\operatorname{rank}(f)=n^2-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n 1_{\lambda_i=\lambda_j}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n 1_{\lambda_i\ne\lambda_j}$.
