Cómo resolver esta integral $\int _0^{\infty} e^{-x^3+2x^2+1}\,\mathrm{d}x$

Question

Mi compañero me preguntó acerca de esta integral: $$\int _0^{\infty} e^{-x^3+2x^2+1}\,\mathrm{d}x$ $ pero no tengo ni idea cómo hacerlo. ¿Cuál es la forma cerrada de la misma? Supongo que puede estar relacionada con la función de Airy.

Answer 1

Supongo que puede estar relacionada con la función de Airy.

Adivinaron bien. En general, tenemos $~\displaystyle\int_0^\infty\exp\Big(-x^2(x+3a)\Big)~dx~=~\frac2{e^{2a^3}}\cdot\frac{\text{Bi}\Big(3^{2/3}~a^2\Big)}{3^{4/3}}-$

$-a\cdot~_2F_2\bigg(\bigg[\dfrac12~,~1\bigg]~;~\bigg[\dfrac23~,~\dfrac43\bigg]~;~-4a^3\bigg).~$ En este caso, $a=-\dfrac23.$

Answer 2

Al parecer hay una forma cerrada que incluye la hipergeométrica generalizada funciones. Ellos mismos pueden ser expresados en una serie, así que usted puede ser capaz de rastrear la solución a algún tipo de serie de la expresión de el integrando:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate+Exp[-x^3%2B2+x^2+%2B1]+desde+0+a+Infinito

Mi enfoque sería tomar la solución y escribir las funciones hipergeométricas de la serie.