Mostrar que $0=x^x$ no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Question

Quiero mostrar que $0=x^x$ no tiene solución para $x > 0$ $x \in \mathbb{R}$.

Sé que no hay una solución, pero no sé cómo demostrar matemáticamente.

Edición: Lo que finalmente escribí en mi ejercicio como prueba:

$x^x = 0$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{ln(0)}{ln(x)}$

$\Rightarrow ln(0)$ no está definido, por lo tanto ninguna solución existe.

Answer 1

Si se supone que hay $t^t=0$, $t>0$, si $t>0$de % entonces $$\ln{t}\in \mathbb{R}$ $$$ t\cdot\ln{t}\in \mathbb{R}\ln{t^t}\in \mathbb{R} $$\ln{t^t}=\ln{0}\in \mathbb{R}$$ pero el % es una contradicción

Answer 2

Puesto que nadie ha abordado el caso de $x<0$ sin embargo, te sugiero:

Un número complejo arbitrario $C = Me^{i\theta}$ y el número real arbitrario $R$, $$C^R = M^Re^{iR\theta}$$ As $M # > 0$, $M ^ R > 0$ and thus $C ^ R \ne 0$.