¿Tiene el % de propiedad $\int_{a}^b[ f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^b f(x) dx + \int_{a}^b g(x) dx$de integrales incorrectos?

Question

Estoy tratando de mostrar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:

$$ \int_{0}^1 \frac{\sec^2(x)}{x\sqrt{x}} dx$$

Empiezo por escribir como:

$$ \int_{0}^1 \frac{1+\tan^2(x)}{x^{3/2}} dx$$

Y este es el paso que no estoy del todo seguro de que es correcto:

$$ \int_{0}^1\frac{1}{x^{3/2}}dx +\int_{0}^1\frac{\tan^2(x)}{x^{3/2}}dx$$

Asumiendo que esto es correcto, la integral sería:

$\lim_{t\to 0^{+}}\int_{t}^1\frac{1}{x^{3/2}}dx +\int_{t}^1\frac{\tan^2(x)}{x^{3/2}}dx$

Y por sólo evaluando $\lim_{t\to 0^{+}}\int_{t}^1\frac{1}{x^{3/2}}dx$ la divergencia podría ser mostrado.

$\lim_{t\to 0^{+}}\int_{t}^1\frac{1}{x^{3/2}}dx = \lim_{t\to 0^{+}}\Bigg[\frac{-2}{\sqrt{x}} \Bigg]_{t}^{1}$

$=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{-2}{\sqrt{1}} - (\frac{-2}{\sqrt{t}}) $

$=\lim_{t\to 0^{+}}-2 + \frac{2}{\sqrt{t}} $

Este límite es$\infty$, por lo que la integral no converge.

Es esto correcto? Puedo dividir la integral como se hace con un correcto de la integral definida?

Answer 1

Puesto que la integral impropia es un límite, se puede dividir en una suma, siempre que ambos sumandos tienen un límite: sólo se aplica $$ \lim_{t\to0}\int_t^1 (f(x)+g(x))\,dx= \lim_{t\to0}\int_t^1 f(x)\,dx+ \lim_{t\to0}\int_t^1 g(x)\,dx $$ que se puede hacer siempre que ambos límites en el lado derecho de existir, con las reglas habituales para $\infty$.

Si uno de los límites es $\infty$ y el otro es finito o $\infty$, entonces se puede concluir que para que la divergencia de la mano izquierda. De manera similar para ambos $-\infty$ o una $-\infty$ y el otro finito.

Pero si uno es$\infty$, y el otro es $-\infty$ usted no puede concluir.