los campos se caracterizan por la propiedad de tener ideales exactamente 2

Question

Posibles Duplicados:
Un anillo es un campo iff la única que los ideales se $(0)$ $(1)$

Michael Artin del Álgebra

en la introducción de la máxima campos, hubo una sentencia se afirmaba que los campos se caracterizan por la propiedad de tener exactamente 2 de los ideales. ¿qué significa? alguien puede elaborar sobre esto ? No recuerdo realmente existen tales pruebas.

Answer 1

Deje $F$ ser un campo, y deje $I$ ser un otro ideal que el de la $0$-ideal. Si $a\in I$$a\ne 0$,$a^{-1}a$$I$, lo $1$$I$. De ello se desprende que $x=(x)(1)$ $I$ por cada $x$, y por lo tanto $I=F$. Por lo tanto un campo tiene exactamente dos ideales.

Para conversar, vamos a $A$ ser un anillo conmutativo con unidad, con exactamente dos ideales. Nos muestran que $A$ es un campo.

Deje $w$ ser un elemento no nulo de a $A$. Es fácil comprobar que el conjunto de $I$ de todos los anillos de los elementos de la forma $xw$ donde $x$ rangos de $A$, es un ideal. Desde $A$ tiene sólo dos ideales, tenemos $I=A$. En particular, $1\in I$, lo que significa que $w$ es invertible.

Por lo tanto si $A$ tiene sólo dos de los ideales, de cada elemento no nulo de a $A$ es invertible, es decir, $A$ es un campo.

Answer 2

Un anillo conmutativo $R$ siempre tiene al menos un ideal: $R$ $\{0\}$ son ejemplos (pero no podrían ser dos ejemplos).

Si $R$ tiene exactamente un ideal, una aparentemente ha $R=\{0\}$, e $R$, no es un campo (porque uno de los campo de axiomas es $0\neq1$, que es precisamente enumerados a excluir de este anillo; todos los demás de campo axiomas son satisfechos).

Si $R$ tiene exactamente dos ideales, a continuación, en primer lugar $R\neq\{0\}$, por lo que estos ideales son, precisamente,$R$$\{0\}$. Entonces para cualquier $a\in R\setminus\{0\}$, el ideal de $aR$ genera no $\{0\}$, por lo que debe ser $R$. En particular, $1\in aR$ $a$ es invertible, esto se cumple para cualquier valor distinto de cero $a$ $R$ es un campo.

Si $R$ tiene un ideal $I$$I\neq\{0\}$$I\neq R$, $1\notin I$ (de lo contrario $a=1.a\in I$ todos los $a\in R$ contradiciendo $I\neq R$), y la elección de $a\in I\setminus\{0\}$ tenemos $1\notin aR\subseteq I$ $a$ es no invertible y $R$, no es un campo.

Si $R$ no es conmutativa, esto depende de lo "ideal". Tomar para significar "ideal de derecho" lo anterior sigue siendo válido, y se puede concluir que la única anillos con es exactamente dos de la derecha son los ideales que la inclinación de los campos (de la división de los anillos). Pero si uno toma (más de lo razonable) "ideal" que significa "dos caras ideal", entonces la afirmación es falsa. Hay no-conmutativa anillos con exactamente dos a dos caras ideales que no son de la división de los anillos: una matriz de anillo sobre un campo es un ejemplo. Por lo tanto, podemos asumir que el contexto de su comilla es tal que "caracteriza" a tomar "entre conmutativa de los anillos".

Answer 3

Los únicos ideales en un campo ar $0$ y $F$ sí mismo.

Si por el contrario $A$ es un anillo comutativo con 1 y no ideales aparte de $0$ $A$, entonces el $0$ es un ideal maximal, por lo tanto, $A/0$ es un campo. Pero obviamente $A\cong A/0$.