Aquí es tedioso construcción que muestra una ruta entre dos funciones polinómicas. La idea es muy simple, los detalles cansino.
Supongamos $f$ no es un polinomio. A continuación, hay algunos $a \in (0,1)$ tal que
la restricción $f \mid_{[a,1]}$ no es un polinomio. Para ver esto, supongamos que
$f \mid_{[a,1]}$ es un polinomio por todos los $a \in (0,1)$, entonces, desde un
polinomio es definida únicamente por sus valores en un intervalo no vacío, se
ver que $f \mid_{[a,1]}$ es el mismo polinomio independientemente de $a$, y,
por la continuidad, vemos que $f$ es un polinomio que es una contradicción.
Ahora supongamos$ f_1,f_2$ no son polinomios, entonces nosotros a partir de las observaciones anteriores
de ello se desprende que hay $a_1,a_2$ de manera tal que las respectivas restricciones
no son polinomios. Deje $a=\min(a_1,a_2)$,$f_1 \mid_{[a,1]}$,
$f_2 \mid_{[a,1]}$ no son polinomios.
Deje $\phi_t = f_1-t f_1(a)$. Vemos que $\phi_t$ no es un polinomio para todos
$t$, por lo tanto, no es un camino de $f_1$ $f_1'=f_1-f_1(a)$que no pase
a través de cualquier polinomio. Tomamos nota de que $f_1'(a) = 0$.
El mismo procedimiento se muestra que hay un camino de $f_2$ $f_2'=f_2-f_2(0)$que no pase a través de cualquier polinomio y $f_2'(a) = 0$.
Algunas anotaciones: Supongamos que $q:[0,a] \to \mathbb{R}$, $w:[a,1] \to \mathbb{R}$
son tales que $q(a)=w(a) = 0$, luego deje $(q,w)$ ser la función
$(q,w): [0,1] \to \mathbb{R}$ tales que $(q,w)(x) = \begin{cases} q(x), & x \in [0,a] \\
w(x), & x \in [a,1] \end{casos}$.
Ahora vamos a $g:[0,a] \to \mathbb{R}$ ser cualquier función que no es un polinomio
(por ejemplo, $g(x) = \sin ( {t \over a} \pi)$).
Voy a utilizar los mismos símbolos $f_1',f_2'$ a representar el correspondiente
restricciones a continuación.
A continuación, la colección de funciones $t \mapsto (f_1'+t(g-f_1')), f_1')$ muestra
un camino de $f_1'$ $(g,f_1')$que no pase a través de cualquier
el polinomio (desde $f_1' \mid_{[a,1]}$ no es un polinomio).
A continuación, la colección de funciones $t \mapsto (g, f_1'+t(f_2'-f_1'))$ muestra
un camino de $(g,f_1')$ $(g,f_2 ')$que no pase a través de cualquier
el polinomio (desde $g$ no es un polinomio).
Por último, la colección de funciones $t \mapsto (g+t(f_2'-g),f_2')$ muestra
un camino de $(g,f_2 ')$ $f_2'$que no pase a través de cualquier
el polinomio (desde $f_2' \mid_{[a,1]}$ no es un polinomio).
