Demostrando que $\angle MAD= \angle BAC$

Question

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ Los dos lados $BC=CD$ . También $ 2\angle A+\angle C=180^\circ $

Y $M$ es el punto medio para $BD$ . Cómo demostrar que $\angle MAD= \angle BAC$ .

Answer 1

Voy a utilizar un resultado relativamente conocido sin pruebas. Si desea una prueba, consulte cualquier referencia estándar sobre el punto de Lemoine.

Teorema: Sea $\Delta ABC$ sea un triángulo con circunferencia $K$ . Entonces las tangentes a $K$ en $B$ y $C$ se cruzan en la simetría del triángulo $\Delta ABC$ ampliado de $A$ .

Teniendo en cuenta el teorema anterior, la demostración es relativamente fácil.

Considere el cuadrilátero $ABCD$ con el subtriángulo $\Delta ABD$ . Construir la circunferencia $K$ de $\Delta ABD$ . Nuestro objetivo es demostrar que $\overline{BC}$ y ${CD}$ son tangentes a $K$ en $B$ y $D$ respectivamente.

Sí, es cierto, $\angle A$ subtiende el arco $BD$ . Por los teoremas estándar de la tangente del círculo, se deduce que las tangentes a $K$ necesariamente forman $\angle A$ con línea $\overline{BD}$ . A partir de la hipótesis, sabemos que el triángulo $\Delta BCD$ es isóceles ya que $\overline{BC} = \overline{CD}$ . Concretamente sabemos que los ángulos de la base deben ser iguales a $180^\circ - \angle C = 2\angle A$ y por lo tanto $\angle CBD = \angle CDB = \angle A$ .

Desde $\overline{BC}$ y $\overline{CD}$ son líneas que pasan por $B$ y $D$ ángulo de conformación $\angle A$ con $\overline{BD}$ se deduce que deben ser las tangentes de $K$ . Por lo tanto, el punto en el que se encuentran, $C$ interseca la extensión de la simbólica de $\Delta ABD$ ampliado de $A$ . En concreto, esto demuestra que $\angle MAD = \angle BAC$ por la definición de la simmediana.