Supongamos que $\{x_n : n \in \mathbb{N}\} \subset \mathbb{R}$ es tal que $x_n \neq 0$ para algunos $n$ . Dejemos que $p \in (1, \infty)$ y $$G := \left\{\{y_n : n \in \mathbb{N}\} \in l^p : \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N y_n x_n = 0\right\}.$$ ¿Tenemos que $G$ es denso en $l^p$ si y sólo si $\{x_n : n \in \mathbb{N}\} \notin l^q$ donde $1/p + 1/q = 1$ ?
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PhoemueX
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" $\Leftarrow$ ": Supongamos que $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\notin\ell^{q}$ . Demostraremos que en realidad $\delta_{n_{0}}\in\overline{G}$ por cada $n_{0}\in\mathbb{N}$ . Desde $G$ (y por lo tanto $\overline{G}$ ) es obviamente un espacio vectorial y como las secuencias finitamente soportadas son densas en $\ell^{p}$ (por $p<\infty$ ), esto implica una densidad de $G$ .
Tenga en cuenta que como $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\notin\ell^{q}$ , también tenemos $\left(x_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}\notin\ell^{q}$ . Ahora bien, es bien sabido que podemos caracterizar el $\ell^{q}$ norma por dualidad (también si es infinita), es decir, tenemos $$ \infty=\left\Vert \left(x_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}\right\Vert _{\ell^{q}}=\sup_{\substack{\left(y_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}\text{ finitely supported},\\ \left\Vert \left(y_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}\right\Vert _{\ell^{p}}=1 } }\left|\sum_{n=n_{0}+1}^{\infty}x_{n}y_{n}\right|. $$ Ahora, dejemos que $\varepsilon>0$ sea arbitraria y que $\alpha:=x_{n_{0}}$ . Por lo que acabamos de ver, existe una secuencia finitamente soportada $\left(y_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}$ con $\left\Vert \left(y_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}\right\Vert _{\ell^{p}}=1$ y $\left|\gamma\right|>\frac{\left|\alpha\right|}{\varepsilon}$ para $\gamma:=\sum_{n=n_{0}+1}^{\infty}x_{n}y_{n}$ . Ahora, defina $z:=\left(z_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ por $z_{n}:=-\frac{\alpha}{\gamma}\cdot y_{n}$ para $n\geq n_{0}+1$ y $z_{n}:=0$ de lo contrario. Nota $$ \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}z_{n}=-\frac{\alpha}{\gamma}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n}=-\alpha $$ y por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\delta_{n_{0}}+z\right)_{n}x_{n}=x_{n_{0}}+\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}x_{n}=\alpha-\alpha=0 $$ lo que implica $\delta_{n_{0}}+z\in G$ . Pero como $\left|\gamma\right|>\frac{\left|\alpha\right|}{\varepsilon}$ , también tenemos $$ \left\Vert \delta_{n_{0}}-\left(\delta_{n_{0}}+z\right)\right\Vert _{\ell^{p}}=\left\Vert z\right\Vert _{\ell^{p}}=\left|\frac{\alpha}{\gamma}\right|\cdot\left\Vert \left(y_{n}\right)_{n\geq n_{0}+1}\right\Vert _{\ell^{p}}=\left|\frac{\alpha}{\gamma}\right|<\left|\alpha\right|\cdot\frac{\varepsilon}{\left|\alpha\right|}=\varepsilon. $$ Desde $\varepsilon>0$ era arbitraria, $\delta_{n_{0}}\in\overline{G}$ .
" $\Rightarrow$ ": Supongamos que $G$ es denso. Si tuviéramos $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\in\ell^{q}$ , entonces el funcional $$ \Phi:\ell^{p}\to\mathbb{R},\left(y_{n}\right)_{n}\mapsto\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}y_{n} $$ estaría bien definido y acotado, de modo que el núcleo ${\rm ker}\,\Phi=G$ sería un subconjunto cerrado de $\ell^{p}$ .
Pero por suposición, $x_{n}\neq0$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ para que ${\rm ker}\,\Phi\neq\ell^{p}$ . En definitiva, vemos que $$ \overline{G}=\overline{{\rm ker}\,\Phi}={\rm ker}\,\Phi\neq\ell^{p}, $$ en contradicción con la densidad de $G$ en $\ell^{p}$ . Por lo tanto, $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\notin\ell^{q}$ , como se desee.
