¿Por qué no es posible incrustar $\mathbb{R}P^2$ $\mathbb{R}^3$?

Question

el título es más o menos auto-explicativo.

¿Por qué no es posible incrustar el Real Proyectiva Avión $\mathbb{R}P^2$ en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^3$?

Me topé con el siguiente ejemplo: supongamos $\mathbb{Z}_2$ actuar en $\mathbb{R}^3$ por los reflejos de la forma f (x)=x,f(x)=-x). A continuación, el cociente del espacio de $Q$ es un cono sobre $\mathbb{R}P^2$. $Q$ no es un colector. Cómo comprobar esta afirmación?

He intentado lo siguiente: Supongamos $0$ tendría un barrio que es homeomórficos a $\mathbb{R}^3$. A continuación, mediante la restricción de este homeomorphism uno podría Incrustar el plano proyectivo en $\mathbb{R}^3$. Lo que no es posible (por google). Sin embargo yo no averiguar por qué.

Hay un algebraicas invariantes, que prohíbe y es fácil de visualizar?

Answer 1

Es orientable cada subvariedad cerrada un codimension de $\mathbb R^3$ $\mathbb{R}P^2$ es no orientable .

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$Tiene dos preguntas:

1. ¿Por qué $\Reals\Proj^{2}$ no incrustar en $\Reals^{3}$? (El título de la pregunta, que Georges ha contestado.)

2. ¿Por qué es $Q = \Reals^{3}/{\pm}$ no un colector? (La motivación de la pregunta en su post, que 1. respuestas indirectamente.)

He aquí una alternativa a tomar en 2.: El "enlace" de los vértices de $Q$ (es decir, el límite de la imagen de una bola centrada en el origen de $\Reals^{3}$) $\Reals\Proj^{2}$ en lugar de $S^{2}$. Si algunos vecindario $U$ de los vértices de $Q$ fueron homeomórficos a $\Reals^{3}$, existiría un cerrado balón $B$ centrada en el origen de $\Reals^{3}$ cuya imagen en $Q$ (contráctiles y) contenida en $U$. Siguiente con un homeomorphism $\phi:U \to \Reals^{3}$ daría un contráctiles subconjunto de $\Reals^{3}$ cuyo límite es $\Reals\Proj^{2}$.

La misma idea implica, por ejemplo, que un cono en un $2$toro no es un colector, a pesar de que un $2$-toro hace incrustar en $\Reals^{3}$.