Derivado complejo en términos de derivadas parciales

Question

Que $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ holomorfa. ¿Ahora, si escribimos $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ $u,v$ armónica, hay una forma de escribir el complejo derivado $\frac{d f}{d z}$ en términos de las derivadas parciales de $u,v$?

¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

$$\frac{d f}{d z}(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}(z_0) + i\frac{\partial v}{\partial x}(z_0)$$.

Answer 2

En primer lugar vamos a definir $$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+ \frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}\right) $$ y $$ \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}\right) $$

Me estoy saltando algunas de las cosas en la proposición 2.3 de Stein, sin embargo, la parte creo que va a estar interesado es el siguiente,

Si $f$ es holomorphic, entonces tenemos $$ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0 $$

y

$$ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = 2\frac{\partial u}{\partial z}(z_0). $$

El Cauchy-Riemann ecuaciones nos dan $$ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\Rightarrow f'(z_0) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) + \frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)\right)=\frac{\partial f}{\partial z}(z_0). $$

Ahora bien, si usamos la de Cauchy-Riemann ecuaciones vemos que $\frac{\partial f}{\partial z}(z_0) = 2\frac{\partial u}{\partial z}(z_0)$. Es útil (y muy simple) para derivar de esto y me sugerimos que lo haga sentirse más cómodo con Cauchy-Riemann ecuaciones.

Answer 3

Si usted mira las ecuaciones de Cauchy-Riemann la en Wikipedia a ver cómo utilizar la regla de la cadena para hacer esta diferenciación compleja.