Si $\int_A f\,dm = 0$ % todo $A$tener fija medida $C$, entonces el $f = 0$ casi en todas partes

Question

Que $f \in L^1[0,1]$. Asumir que existe una constante C, con $0 < C < 1$, tal que para cada conjunto medible $A \subset [0,1]$ $m(A)=C$, tenemos $\int_{A} f dm = 0$. Demostrar que $f = 0$ casi en todas partes.

Intenté hacer mi contradicción pero no he podido conseguir mi cabeza alrededor de él. Cualquier sugerencias o ideas son apreciadas.

Answer 1

Si $f$ no $0$ en casi todas partes, entonces claramente $m(\{f>0\})>0$ $m(\{f<0\})>0$ (ya que en los conjuntos de medida $C$ donde $f$ no $0$ en casi todas partes, no debe ser positivo partes y negativo partes para cancelar). Ahora supongamos $C\leq 1/2$. Cualquiera de las $m(\{f\geq 0\})\geq 1/2$ o $m(\{f\leq 0\})\geq 1/2$; supongamos WLOG $m(\{f\geq 0\})\geq 1/2$. Entonces podemos encontrar un subconjunto $A\subseteq\{f\geq 0\}$ de medida $C$ tal que $m(A\cap\{f>0\})>0$. Esto implica $\int_A f>0$, lo cual es una contradicción.

Ahora supongamos $C>1/2$, y escribir $I=\int_{[0,1]}f$. Tenga en cuenta que si $m(B)=1-C$,$\int_B f=I$. Deje $g=f-I/(1-C)$; a continuación, $g$ tiene la propiedad de que para cualquier $B$ de la medida $1-C$, $\int_B g=0$. Por el párrafo anterior, esto implica $g$ $0$ en casi todas partes. Por lo tanto $f$ es constante en casi todas partes (con valor de $I/(1-C)$), y esto implica claramente $f$ $0$ en casi todas partes.

Answer 2

De Puzzle. Deje $f$ ser integrable en $[0,1]$, vamos a $0<c<1$, y supongamos que que $\int_A f(t)\,dt =0$ para todos los conjuntos medibles $A\subset[0,1]$ con $m(A)=c$. Mostrar que $f=0$.e.

Yo llamo a esto un "puzzle" en lugar de un problema. Un buen rompecabezas debe ser desconcertante de curso (los comentarios sugieren que era para rato) y debe tener un entretenido no demasiado complicado solución. No hay sugerencias permitido-que sería como incluyendo la línea de golpe en la set-up para una broma. No debería tener ningún significado más profundo ... esta no ilustra ningún método en particular de la teoría de la integración aunque puede atacar con profundidad los métodos si que emociona.

Que yo recuerde, añadiendo como Ejercicio 5:12.7 en nuestro posgrado real de análisis de texto de la${}^1$ hace mucho tiempo. Yo no, sin embargo, recordar de dónde vino, o ¿qué solución Yo tenía en mente en el momento, o lo que los estudiantes se acercó con. Pero aquí es una solución que se me ocurre ahora y que se quiere decir, simplemente, para entretener--no instruir. (Tenga en cuenta que los únicos elementos de la integración de la teoría que usamos hubieran sido conocidos para el cálculo de los estudiantes.)

Solución.. Deje $F(x)= \int_0^x f(t)\,dt .$ Fix $0<x<c$ y elija $\delta$ más pequeño que el de $x$$1-c$. Considere los conjuntos $$A= [0,x] \copa [1+ x-c,1]$$ and $$B=[0,x-h] \copa [x,x+h] \copa [1+x-c, 1].$$ where $h$ is any positive number smaller than $\delta$. Observar que $m( A)=m(B)=c$, de modo que $\int_A f=\int_B f = 0$. Que significa que $$\int_{[x-h,x]} f(t)\,dt = \int_{[x,x+h]} f(t)\,dt.$$ This translates into the statement that $$F(x+h)+F(x-h)-2F(x) =0$$ for all such $x$ and all $0<h<\delta$. Cualquier función continua $F$ que satisface esta condición familiar${}^2$ en cada punto del intervalo $(0,c)$ es lineal. Pero sabemos que $F(0)=F(c)=0$, por lo que en todas partes sobre que el intervalo de $F$ es igual a cero y, en consecuencia,$f=0$.e. en $[0,c]$.
El mismo argumento puede ser construido en el intervalo de $[c,1]$, por lo que hemos terminado .

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Nota de pie de página${}^1$: Análisis Real (2008) ISBN: 1434844129. Página de descarga de aquí.

Nota de pie de página${}^2$: La expresión $F(x+h)+F(x-h)-2F(x) =0$ dice que la función es "localmente punto medio lineal." Para una función continua esto implica que la función es lineal, con una primaria de la prueba. Más dramáticamente, si el muy mucho más débil condición $$\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}=0$$ tiene en cada una de las $a<x<b$ para una función continua $F$, luego de nuevo a $F$ debe ser lineal en $[a,b]$. Esta condición se dice que una función continua con un cero Schwartz derivado (o segunda derivada simétrica) debe ser lineal.

Answer 3

Puesto que uno de los conjuntos de $\{x : f(x) \geqslant 0\}$ $\{x: f(x) \leqslant 0\}$ tiene al menos la mitad de la medida, cualquier $C \leq 0.5$ trabajo. Un ejercicio interesante sería mostrar que cualquier $C < 1$ funcionará.