La respuesta de Makoto Kato realmente captura la esencia de la respuesta mejor, pero también se puede hacer esto sin el uso de una extensión de campo. La condición de que el polinomio mínimo $p_T$ ser irreducible es un lugar fuerte condición: esto significa que para cada vector distinto de cero$~v$ el grado mínimo monic polinomio$~P$ tal que $P[T](v)=0$ es igual a$~p_T$ (en general monic divisores de$~p_T$ son candidatos, pero aquí el único adecuado divisor es$~1$, pero sólo aniquila el vector cero). En particular, $v,T(v),\ldots,T^{d-1}(v)$ siempre son linealmente independientes, donde $d=\deg(p_T)$. En consecuencia, la única $T$-subespacios invariantes de la envergadura$~S$ estos $d~$vectores son el cero del espacio y$~S$ sí mismo: esto es debido a que para cada vector distinto de cero$~v'$, sus imágenes repetidas $v',T(v'),\ldots,T^{d-1}(v')$ son linealmente independientes y, por tanto, necesariamente span$~S$.
Ahora una propiedad fundamental es que en $V$, y por el mismo argumento que en cualquier $T$-estable subespacio de (debido a la restricción de$~T$ tiene el mismo polinomio mínimo, a menos que se haya dimensión$~0$), uno puede encontrar un conjunto de vectores $v_1,\ldots,v_k$ de manera tal que el $dk$ vectores $v_1,T(v_1),\ldots,T^{d-1}(v_1)$, $v_2,\ldots,T^{d-1}(v_2)$, $\ldots,v_k,T(v_k),\ldots,T^{d-1}(v_k)$ formar una base. En realidad pueden ser elegidos bastante libremente, con la elección de $v_i$ ser restringido sólo por estar fuera del lapso $S_{<i}$ los vectores antes en la lista, como en la incompleta teorema de la base. (De hecho, esta es la incompleta teorema de la base con respecto a la $K$-espacio vectorial estructura en la otra respuesta que me he referido.) Para ver esto, basta observar durante el lapso $S_i$ de las imágenes repetidas $v_i,T(v_i),\ldots,T^{d-1}(v_i)$ que $S_{<i}\cap S_i=\{0\}$ ($T$- estable subespacio de $S_i$ que no contenga $v_i$) y uno de ellos tiene una directa suma $S_{\leq i}=S_{<i}\oplus S_i$. El proceso termina cuando se $S_{\leq i}=V$, en cuyo caso uno de los conjuntos de $k=i$; tenga en cuenta que nosotros obtenemos que $\dim(V)=kd$ es necesariamente un múltiplo de$~d=\deg(p_T)$.
Ahora para el resultado de la pregunta: elegir un conjunto de vectores $v_1,\ldots,v_k$ $T$- estable subespacio$~W$, y completa a un conjunto de vectores $v_1,\ldots,v_l$ para todo el espacio; entonces es fácil ver que los vectores $v_{k+1},T(v),\ldots,T^{d-1}(v_{k+1})$, $\ldots,v_l,T(v_l),\ldots,T^{d-1}(v_l)$ son la base de una $T$-estable complemento de$~W$.
