¿Se puede realizar cualquier colector liso como el conjunto cero de algunos polinomios?

Question

¿Cualquier variedad real lisa es difeomorfa a una variedad real algebraica afín? (Es decir, ¿existe un teorema de incrustación "algebraica" de Whitney?)

Y son todas las formas posibles de realizar un múltiple $M$ como una variedad algebraica equivalente? Es decir, supongamos $M$ es difeomorfo a las variedades $V_1$ y $V_2$ ¿son isomorfos en la categoría algebraica?

Admito que lo pregunto por curiosidad después de leer esta pregunta: ¿Pueden los colectores ser aproximados uniformemente por variedades?

Answer 1

Una rápida búsqueda en Google encontró este documento donde se afirma que la respuesta a la primera pregunta es afirmativa en el caso compacto (debido a Tognoli): este resultado se denomina teorema de Nash-Tognoli. En general, la respuesta es no: una variedad afín real tiene grupos de homología de rango finito, y es fácil construir variedades no compactas para las que esto es falso (por ejemplo, una superficie de género infinito). De hecho, aparentemente existe un límite debido a Milnor para la suma de los números de Betti de una variedad real.

La respuesta a la segunda pregunta es ciertamente no: basta con tomar dos curvas elípticas con un poco de diferencia $j$ -invariantes.

Answer 2

En aras de la exhaustividad, aquí está la respuesta que cubre también las variedades no compactas:

Definición. 1. Un colector liso $M$ es domar si $M$ es difeomorfo al interior de una variedad compacta y suave $N$ con límite (posiblemente vacío).

2. Un colector liso $M$ es algebraico si es difeomorfo a un subconjunto real-algebraico no singular de ${\mathbb R}^n$ para algunos $n$ .

Teorema. Una variedad suave es mansa si y sólo si es algebraica.

Véase el corolario 4.3 en

Akbulut, Selman; King, Henry C. , La topología de los conjuntos algebraicos reales con singularidades aisladas , Ann. Math. (2) 113, 425-446 (1981). ZBL0494.57004 .