Derivada de matriz con traza y log

Question

Estoy atascado en este problema. Deje que $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$ calcula las siguientes derivadas matriciales $$\frac{\partial}{\partial X}\mathrm{tr}(\log(XA)\log(XA)^\top),$$ $$\frac{\partial}{\partial X}\mathrm{tr}(B\log(XA)), $$ donde $\log(\cdot)$ es el logaritmo de la matriz (no por elementos) y $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ son matrices constantes.

Gracias de antemano por sus sugerencias.

Answer 1

Supongo que eres capaz de calcular la derivada sin rastro. Y la parte restante, en realidad, no es difícil. Trate de calcular componentwisely, entonces $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial X^i_j}\text{tr}f(X)=& \frac{\partial}{\partial X^i_j}f^k_l(X)\delta^l_k\\ =&\frac d{dx}f^k_m(x)|_{x=X}\frac{\partial}{\partial X^i_j}X^m_l\delta^l_k\\ =&\frac d{dx}f^k_m(x)|_{x=X}\delta^m_i\delta^j_l\delta^l_k\\ =&\frac d{dx}f^j_i(x)|_{x=X} \end{align}$$ La conclusión es

$$\frac{\partial}{\partial X}\text{tr}f(X)=\left(\frac d{dx}f(x)|_{x=X}\right)^T$$

Answer 2

Es evidente que el cálculo es casi inviable. En particular, la respuesta de GMB es absolutamente falsa (véase mi comentario anterior). ¿Quién ha dado un buen punto a su respuesta? Sin embargo, se puede dar una respuesta compacta si $X=A^{-1}$ porque $D\log_I=id$ .

Sea $f(X)=tr(B\log(XA))$ . Entonces $Df_{A^{-1}}:H\rightarrow tr(BHA)$ . Así $\nabla (f)_{A^{-1}}=(AB)^T$ .

EDITAR: Que $h(X)=tr(\log(I+X))$ donde $\log$ denota el logaritmo principal y $||X||<1$ . Entonces $h(X)=tr(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}/k.X^k) =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}/k.tr(X^k)$ y $Dh_X:H\rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}/k.tr(kX^{k-1}H)$ (porque $tr(UV)=tr(VU)$ ) $=tr(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}X^{k-1}H)=tr((I+X)^{-1}H)$ . En otras palabras $\nabla(h)_X={(I+X)^{-1}}^T$ . En términos más generales, si $X$ no tiene valores propios en $\mathbb{R}^-$ entonces $g(X)=tr(\log(X))$ . Uno tiene $Dg_X:H\rightarrow tr(X^{-1}H)$ y $\nabla(g)_X={X^{-1}}^T$ .

Aquí $f(X)=tr(B\log(XA))=tr(B\log(Y))$ entonces debemos derivar $u(Y)=tr(BY^k)$ . Por desgracia, $Du_Y:K\rightarrow tr(B(kY^{k-1})K)$ es falsa en general ; sin embargo, es verdadera si, por ejemplo, $BY=YB$ . Por último, cuando $BXA=XAB$ , $Df_X:H\rightarrow tr(B(XA)^{-1}HA)$ (porque $K=HA$ ) $=tr((XA)^{-1}BHA)=tr(X^{-1}BH)$ y $\nabla(f)_X=(X^{-1}B)^T$ no depende de $A$ .

Answer 3

He aquí una respuesta incompleta:

$\log A = - \sum_{i = 1}^{\infty} \, \frac{1}{i}(I - A)^i$

Así que

$d \log A = \sum_{i = 0}^{\infty} \, (I - A)^i \, dA$

Si conoce las reglas de la cadena y del producto, derivando sobre el $\log A$ término debería ser la única parte complicada.