El mismo destino independientemente del origen

Question

Cuando yo era muy pequeña, yo no entender algunos conceptos básicos del espacio en que vivimos. Siempre hemos seguido la misma dirección para llegar a la ciudad, a la escuela, a la tienda de comestibles, y así sucesivamente. Así que me imaginé que siguiendo esas instrucciones, que siempre llegan al mismo destino , no importa donde llegamos. Esto sólo ocurrió que estamos siempre a la izquierda de la casa.

En otras palabras, supuse que el espacio era más como un grafo conexo de la continua 3-espacio que parece ser. Vértices eran los lugares, y los bordes de la mística de "instrucciones" por el cual se puede viajar entre los lugares. Esta hipótesis no se exactamente que de pie a la experimentación. Sin embargo tengo curiosidad por saber dos cosas:

1. Supongamos que un grafo dirigido donde los bordes salientes están contados; lo que hace el conjunto de gráficos de aspecto donde cualquier camino, digamos, como una lista de números de arista, tiene una constante de destino?

2. Hace un (no trivial) continuo espacio o superficie donde existe ninguna traducción dada $T$ tiene una constante de destino?

Ejemplos:

• Un grafo dirigido con un vértice conectado a sí mismo.

• Un grafo dirigido con $kn+1$ vértices: un yo central conectado y vértice $k$ "radios" de longitud $n$.

• Un continuo 0-espacio.

Answer 1

Tomando la pregunta 2. con un bastante liberal (y ciertamente ingenuo) interpretación, que siempre se puede considerar un campo de vectores $F$ con un solo atractivo punto fijo - por ejemplo,$F(\mathbf{x})=y\hat{\imath}-(x+y)\hat{\jmath}$, que tiene una espiral fregadero en $\mathbf{x}=(0,0)$. Entonces, la familia de soluciones de la ecuación diferencial

$$ \dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x}) $$ for varying initial conditions $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$, defines a continuous space where "all objects have a common destination regardless of origin," the desination being the fixed point $(0,0)$. A continuación es un PPlane de salida para un par de trayectorias:

Esto probablemente podría, por supuesto, se pueden generalizar una gran cantidad por un experto en sistemas dinámicos (que realmente no dicen ser).