¿Puede equipar los espacios del vector real/complejo con una estructura de espacio de Hilbert?

Question

Que $X$ sea un espacio del vector encima $\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}$. ¿Existe un emparejamiento $X \times X \rightarrow \mathbb K$ que induce una estructura de espacio de Hilbert en $X$?

He pensado que uno puede elegir una base arbitraria de $X$, que existe por el axioma de elección y declararla como base orthonormal para el espacio de Hilbert, pero entonces límites de serie podrían ser útil.

Answer 1

No. Si $X$ es un espacio de dimensión infinita numerable, entonces el teorema de categoría de Baire implica que $X$ no se puede dar la estructura de un espacio de Hilbert (o incluso un espacio de Banach). Su idea no ya que, en un espacio de Hilbert infinito dimensional, una base orthonormal es nunca una base algebraica de (Hamel).

Answer 2

Usted puede estar interesado en el siguiente artículo:

Lorenz Halbeisen, y Norbert Hungerbühler. La cardinalidad de Hamel bases de los espacios de Banach, Este-Oeste de la Revista de Matemáticas, 2, (2000) 153-159.

Allí, Lorenz y Norbert demostrar algunos resultados sobre el tamaño de las bases de Hamel arbitraria de infinitas dimensiones de los espacios de Banach. En particular, se muestran:

Lema 3.4. Si $K\subseteq\mathbb C$ es un campo y $E$ es un infinito dimensional espacio de Banach sobre $K$, entonces cada Hamel base de $E$ tiene al menos cardinalidad $\mathfrak c=|\mathbb C|$.

Teorema 3.5. Bajo los supuestos anteriores, el tamaño de la base de Hamel $E$$|E|$.

Entre otras cosas, esto implica una respuesta negativa a su pregunta, y las direcciones de Miha Habič comentario a la otra respuesta.

El argumento es corto, y utiliza un conjunto de claves teórico de hecho, a saber, que no son independientes de las familias de tamaño $\mathfrak c$. Recordemos que una familia independiente es una colección de $\mathcal I$ de los infinitos subconjuntos de a $\mathbb N$ con la propiedad de que para cualquier distintos $A_1,\dots,A_m,B_1,\dots,B_n$ pone en $I$, tenemos que $$ \bigcap_{i=1}^m A_i\setminus\bigcup_{j=1}^n B_j\quad\mbox{ is infinite.} $$ (Lorenz tiene un par de papeles en conjunto teórico de problemas en espacios de Banach, que puede ser descargado desde su página.)