Objetos de grupo en la categoría de grupos

Question

Estoy tratando de mostrar que un objeto de grupo en la categoría de Grupos, es un grupo abelian (la cual, para un principiante, se lee como una peculiar declaración!)

Así que aquí está lo que yo sé:

Deje $\mathscr{C}$ ser una categoría que tiene (finito) de los productos y una terminal de objeto $Z$. Un grupo de objetos en $\mathscr{C}$ es un objeto $G$ y morfismos $\mu: G \times G \to G$, $\eta:G \to G$ y $\epsilon: Z \to G$ de manera tal que los diagramas de la asociatividad, la identidad y la inversa de conmutar (disculpas, es demasiado duro para sacar de ellos sin xymatrix aquí)

Aquí creo que de (esperemos que bien), $\eta$ como la inversión $g \mapsto g^{-1}$

En la categoría de grupos, tenemos que el terminal objeto es cualquier trivial grupo, que me limitaré a llamar a $0$.

A continuación, mostrar el resultado, yo tendría que tener $g_1,g_2 \in G$ y muestran que $\mu(g_1,g_2) = \mu(g_2,g_1)$

Estoy un poco seguro de dónde ir desde aquí. El problema, supongo, es que no veo lo que hace a la categoría de grupos de conducir a abelian grupo de objetos. Por ejemplo, en la categoría de Conjuntos el grupo de objetos son solo grupos.

Answer 1

El punto principal es que se requiere la inversa $\eta$ a ser un grupo homomorphism (es decir, una de morfismos en la categoría de grupos). Usted puede comprobar fácilmente que esto obliga a $G$ a ser abelian, el uso de la compatibilidad entre la multiplicación $\mu$ y de la inversión de las $\eta$ (voy a utilizar el habitual grupo de notación, se puede convertir en $\mu$-$\eta$-logía): $(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}$, y que se supone debe ser igual a $g^{-1}h^{-1}$ por el requisito de que $\eta$ es una de morfismos.

Otra cuestión es: ¿por qué los morfismos $\mu$ tiene que ser la estructura de grupo en la $G$ que ya viene de $G$ ser un elemento de $\textbf{Grp}$? Esto se conoce como la Eckmann-Hilton argumento.