¿Hay una manera hábil para probar si $\Bbb Z_{mn}\cong \Bbb Z_m\oplus \Bbb Z_n$?

Question

Soy bastante nuevo en teoría de grupos, así que disculpas si esto es una pregunta tonta para preguntar: sólo me interesa que $$\require{cancel}\Bbb Z_{4}\ncong\Bbb Z_2\oplus \Bbb Z_2$$ mientras que $$\Bbb Z_{6}\cong \Bbb Z_2\oplus \Bbb Z_3$$ Para la primera no la ecuación (yo no conozco la terminología correcta para el uso aquí), ya que $\Bbb Z_2$ es un grupo cíclico de orden $2$ se sigue que cada elemento en $\Bbb Z_2\oplus \Bbb Z_2$ tiene más de orden $2$, por lo que el isomorfismo es imposible. Pero para la segunda ecuación, no puedo decir si es cierto que en un vistazo. Sólo sé que las órdenes de los elementos de ambos LHS y RHS se $1,2,3,6$. No sé si RHS es cíclica, es decir, hasta que yo escribir de manera explícita, que es bastante ineficiente.

Así que me pregunto si hay una mejor manera de manejar este tipo de problema en general: hay un saber-que-en-primera-vista método para saber si $$\Bbb Z_{mn}\cong \Bbb Z_{m}\oplus \Bbb Z_{n}?$$ O, incluso, de manera más general, ¿qué acerca de $$\Bbb Z_{m_1m_2\cdots m_n}\cong \Bbb Z_{m_1}\oplus \Bbb Z_{m_2}\oplus\cdots\oplus\Bbb Z_{m_n}?$$

Answer 1

Sí, es una buena regla que dice $$ \mathbb{Z}_{n}\oplus \mathbb{Z}_m \simeq \mathbb{Z}_{mn} $$ si y sólo si $\gcd(m,n) = 1$.

También, es asociativo, el producto directo externo $\oplus$ % que $A\oplus (B\oplus C) \simeq (A\oplus B) \oplus C$. Así que el resultado se extiende al caso más general que considere.

Answer 2

Considerar la asignación de $$ \varphi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_m\oplus\mathbb{Z}_n $$ definido por $$ \varphi\colon x\mapsto (x+m\mathbb{Z},x+n\mathbb{Z}) $$ que es un grupo homomorphism.

Su núcleo es $$ \ker\varphi=\{x\in\mathbb{Z}:x\in m\mathbb{Z}, x\n\mathbb{Z}\} =m\mathbb{Z}\cap n\mathbb{Z}=k\mathbb{Z} $$ donde $k$ es el mínimo común múltiplo de a$m$$n$.

Por lo tanto $\varphi$ induce un inyectiva homomorphism $$ \tilde\varphi\colon \mathbb{Z}/\ker\varphi=\mathbb{Z}_k \to\mathbb{Z}_m\oplus\mathbb{Z}_n $$ que es surjective si y sólo si $k=mn$, al mirar el número de elementos en el dominio y el codominio, es decir, $\gcd(m,n)=1$.

Por el contrario, es fácil ver que $\mathbb{Z}_m\oplus\mathbb{Z}_n$ no es cíclico si $\gcd(m,n)>1$, por lo que no puede ser isomorfo a $\mathbb{Z}_{mn}$.

Generalizar a cualquier (finito) número de factores.

Answer 3

Que $\Bbb Z_m\oplus \Bbb Z_n$ tiene orden $mn$y exponente $lcm(m,n)$ (es decir, cada elemento tiene orden en mayoría $lcm(m,n)$).

Por lo tanto, $\Bbb Z_m\oplus \Bbb Z_n$ no puede ser cíclico si $lcm(m,n)=mn$ y esto es equivalente a $gcd(m,n)=1$.

Por lo tanto, si $gcd(m,n)>1$, entonces el $\Bbb Z_{mn}\not\cong \Bbb Z_m\oplus \Bbb Z_n$.

Lo contrario también es cierto y es el tema del Teorema chino del resto.