En una hora, una bacteria muere con probabilidad $p$ o bien se divide en dos. ¿Cuál es la probabilidad de que una sola bacteria produce una población que nunca será extinguido?
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Michael Hardy
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\begin{align} r & =\Pr(\text{posterity lives forever}) \\[10pt] & = \Pr(\text{split})\cdot\Pr(\text{at least one offspring lives forever}) \\[10pt] & = (1-p)\cdot(1-\Pr(\text{both lines eventually die out})) \\[10pt] & = (1-p)\cdot(1-(1-r)^2). \end {Alinee el} tan $$ r = (1-p)(1-(1-r)^2). $$ Que es una ecuación cuadrática en la variable $r$. Una solución es obviamente $r=0$, por lo que se puede factorizar el polinomio $(1-p)(1-(1-r)^2)-r$ $ $ (1-p) (1-(1-r) ^ 2)-r = r\cdot\text {algo}. $$ $\text{something}=0$ Escribir y no es incluso cuadrática.
Deje $x$ ("extinción") será la probabilidad de que la colonia se muere. Esto puede suceder de dos maneras: la primera bacteria muere inmediatamente (con una probabilidad de $p$) o se divide y, a continuación, ninguno de sus hijos tiene una infinidad de descendientes.
Esto significa que podemos escribir $x$
$$x = p + (1-p)x^2$$
que es una ecuación cuadrática con dos raíces reales. Una solución es $x=1$ y la otra es $x=\frac{p}{1-p}$. El último es válido probabilidad (es decir, entre 0 y 1) sólo cuando $p \in [0,1/2]$ cuando la gráfica se parece a esto:
Así que la extinción es garantizado por $p \geq 1/2$ y luego disminuye, como se muestra en el gráfico anterior como $p$ disminuye. La supervivencia está garantizada, por supuesto, si $p=0.$
