Para demostrar que una matriz define un mapa de $l^2$ $l^2$

Question

Deja $$M=\begin{bmatrix} 1 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4} \dots\\ 0 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4} \dots\\ 0 & 0 &\frac{1}{3} &\frac{1}{4} \dots\\ \vdots & \vdots &\dots \end{bmatrix}$$

Necesito saber si esta matriz define un mapa de$l^2$$l^2$. Para que me veo en una de las típicas $y(j)$ posición, es decir, si multiplico $M$$x=\left(x(1),x(2),..,x(j),...\right)$, I se $y=\left(y(1),y(2),..,y(j),..\right)$ $M$ a ser un mapa de cada una de las $y(j)$ debe tener sentido y el conjunto de la $y$ debe tener sentido.

Para cada una de las $y(j)$ a sentido , $y(j)=\sum_{k=j}^{\infty} \dfrac{1}{k}x(k)$, deberían converger. Así que me veo en $$\sum_{k=j}^{\infty}|\frac{1}{k} x(k)| \le \sqrt{\sum_{k=j}^{\infty}\frac{1}{k^2}} \times ||x||_2$$ Así que la serie converge absolutamente y por lo tanto converge. No hay problema con esto.

Ahora $y$ debe ser en $l^2$ para todo para caer. Así que me veo en $$||y||^{2}_2=\sum_{j=1}^{\infty} |\left(\sum_{k=j}^{\infty}\frac{1}{k}x(k)\right)|^2 \le \sum_{j=1}^{\infty}\left(\sum_{k=j}^{\infty}|\frac{1}{k}x(k)|\right)^2$$ $$\le \sum_{j=1}^{\infty}\{\left(\sum_{k=j}^{\infty}\frac{1}{k^2}\right)\left(\sum_{k=j}^{\infty}|x(k)|^2\right)\}$$

Esto es donde estoy atascado . Siempre puedo tirar de $||x||_2$, pero eso no ayuda. Tengo una doble serie aquí. Para resolver este problema parece a mí que tengo para demostrar que esto es el doble de la serie converge. De Cauchy-Schwarz es la mejor aproximación posible que pueda conseguir. Así que no creo que tengo que hacer algo con eso.

He intentado usar el hecho de que la cola de la serie llega a cero, pero eso no ayuda tampoco. (puesto que hay una diferencia entre ir a cero y en realidad es cero)

Ahora supongamos que se multiplica la matriz con $x=(0,...0, j,0,0,0..)$ donde $j$ es a $k$ th lugar, a continuación, $y=(1,1,1,...,1,0,0..0)$ cuando la última$1$ es a $k$ º lugar. También se $||y||_2=\sqrt {k}$.

Esto no lleva a nada. Creo que al final todo se reduce a la elección de $x$ tal que la serie de la derecha se aparta.

Supongamos que multiplicar por un arbitrario $x=\left(x(1),x(2),..,x(j),..\dots \right)$, (de curso $x \in l^2$), a continuación, $y=(y(1),y(2),..,y(j),..\dots )$ donde $y(j)=\sum_{k=j}^{\infty} \dfrac{x(k)}{k}$.

Soy incapaz de encontrar una $x$. Gracias por la ayuda!!

Answer 1

Para probar esto, a mí me parece que uno podría seguir la prueba de la prueba de Schur (p. ej., Ejercicio 9 en II.1 de "Un curso sobre análisis funcional" por Conway o Problema 45 en "Un espacio de Hilbert problema del libro" por Halmos).

Supongo que se podría resumir de la siguiente manera (suelto). La secuencia que nos interesa es

$$y_i=\sum_{j=i}^\infty\frac{1}{j}x_j$$

donde $x$ ha finito $l^2$-norma. Uno tiene

$$\begin{align} \lvert\lvert y\rvert\rvert^2=\sum_{i=1}^\infty\,\lvert y_i\rvert^2 &= \sum_{i=1}^\infty\,\left\lvert\sum_{j=i}^\infty \frac{1}{j}x_j \right\rvert^2 \\ &= \sum_{i=1}^\infty\,\left\lvert\sum_{j=i}^\infty \frac{1}{j^{3/4}}\frac{x_j}{j^{1/4}} \right\rvert^2\leq\sum_{i=1}^\infty\,\left(\sum_{j=i}^\infty\frac{1}{j^{3/2}}\right)\left(\sum_{j=i}^\infty\frac{\lvert x_j\rvert^2}{j^{1/2}}\right)\\ &\leq\sum_{i=1}^\infty\,\frac{\alpha}{i^{1/2}}\left(\sum_{j=i}^\infty\frac{\lvert x_j\rvert^2}{j^{1/2}}\right) \end{align}$$

Aquí, la última desigualdad se deduce del hecho de que la primera suma más de $j$ puede ser majorized por $\alpha/i^{1/2}$ adecuado $\alpha>0$. Ahora, se puede intercambiar el orden de la suma en el $i$-$j$ plano para llegar

$$\begin{align} \lvert\lvert y\rvert\rvert^2\leq\sum_{j=1}^\infty\,\sum_{i=1}^{j}\frac{\alpha}{i^{1/2}}\frac{\lvert x_j\rvert^2}{j^{1/2}} = \sum_{j=1}^\infty\,\frac{\lvert x_j\rvert^2}{j^{1/2}}\sum_{i=1}^{j}\frac{\alpha}{i^{1/2}} \end{align}$$

Sin embargo, uno puede encontrar la $\beta>0$ tal que $j^{-1/2}\sum_{i=1}^{j}i^{-1/2}\leq\beta$. En total, de este modo, obtener

$$\lvert\lvert y\rvert\rvert^2\leq\alpha\beta\,\lvert\lvert x\rvert\rvert^2$$

Nota: Schur de prueba (de Conway libro)

Deje $\{\alpha_{i,j}\}_{i,j=1}^\infty$ ser un infinito matriz tal que $\alpha_{i,j}\geq0$ todos los $i,j$ y que no son escalares $p_i>0$ $\beta,\gamma>0$ con

$$\sum_i \alpha_{i,j}p_i\leq \beta\,p_j$$ and $$\sum_j \alpha_{i,j}p_j\leq \gamma\,p_i$$

para todos los $i,j\geq1$. Luego hay un operador $A$$l^2(\mathcal{N})$$\langle e_i\vert A e_j\rangle = \alpha_{i,j}$$\lvert\lvert A \rvert\rvert^2\leq \beta\gamma$.