Preguntas sobre el concepto de estructura, modelo y lenguaje Formal

Question

Cuando empezamos a definir la lógica matemática (específicamente, proposicional, de primer orden y de segundo orden de la lógica) empezamos a definir el concepto de un idioma. Al principio esto se hace en un puramente sintáctica. Tan lejos, tan bueno.

Ahora, en esta formalización hemos estado utilizando lo que se llama "metalogic" y "metamathematics" (utilizamos conjuntos, son funciones, la recursividad, el proceso de razonamiento, etc.). A continuación, queremos unir el significado de "verdad".

(*)En el lenguaje de la lógica proposicional hacemos esto por medio de las tablas de verdad y las reglas de deducción. En el caso de primer y segundo orden de la lógica se utiliza el concepto de "estructura" (Un conjunto donde las funcions y relaciones interactuar) y también las reglas de deducción con cuantificadores. A continuación, se presenta el concepto de "modelo" y mi problema.

Como yo lo entiendo, un modelo es una estructura en la que un sistema de axiomas, expresado en un idioma determinado, están satisfechos.

Pregunta: yo Estoy en lo correcto?

Pero en este caso hemos definido el término "estructura" en términos de la metamathematical sentido. Así que, cuando decimos que estamos haciendo un modelo, se habla también en términos de metamathematics.

Ahora vamos a hablar sobre el lenguaje de la teoría de conjuntos. Hemos construido este idioma a ser lo suficientemente potente para expresar todas las matemáticas.

Los axiomas de la $\mathsf{ZF}$ son dadas. Pero entonces, para dar significado a las expresiones en el lenguaje, en realidad debemos suponer que hay un modelo de $\mathsf{ZF}$. Esto significa que debemos considerar que existe una estructura que satisface los axiomas de $\mathsf{ZF}$ (por supuesto, en aras de la coherencia).

Suponiendo que los axiomas de la $\mathsf{ZF}$ son consistentes, entonces, desde el lenguaje de la teoría de conjuntos y los axiomas de $\mathsf{ZF}$ podemos construir todas las matemáticas.

Pregunta: teniendo en cuenta que prácticamente todo puede ser construido dentro del Lenguaje de la Teoría de conjuntos (con $\mathsf{ZF}$) y la utilizamos como tal, ¿por qué la gente dice que es un metatheory?.

Pregunta: si todo puede ser expresado mediante el Lenguaje de la Teoría de conjuntos (con $\mathsf{ZF}$), por lo que la mayoría de matemáticas que prácticamente uso, ¿por qué estudiar un idioma? Como por ejemplo el lenguaje de la teoría de grupos, el lenguaje de la aritmética, etc.

Asimismo, al considerar un nuevo idioma, y un sistema de axiomas, tenemos que hablar de un modelo que satisface los axiomas(en aras de la coherencia). Pero este modelo es una estructura y uso de la gente de los axiomas de la teoría de conjuntos ($\mathsf{ZF}$) para aumentarlo. Esto me hace pensar en la siguiente pregunta.

Pregunta: cuando decimos que estamos modelando, entonces estamos trabajando en el exterior en el methateory o estamos trabajando dentro del lenguaje de la teoría de conjuntos?

Yo realmente apreciamos cualquier comentario acerca de este tema y también cualquier observación que me ayuda a entender este concepto.

Answer 1

Usted está confundido acerca de la segunda orden de la lógica. Es solo una sintácticos concepto como la lógica de primer orden, pero la lógica en sí no es tan "bonita" como la lógica de primer orden, y la idea de un segundo orden variable se refiere, en cierta medida, a la idea de un conjunto.

Pregunta 3: eres la mitad de derecho. Las reglas de la deducción, son en el lenguaje, esas son reglas sintácticas, porque las pruebas son sintácticos. Pero un modelo de una teoría es una interpretación a la lengua, donde los axiomas son verdaderos.

Pregunta 2: Nos referimos a $\sf ZF$ como metatheory debido a que es el marco en el cual se puede desarrollar la lógica de la sintaxis y la semántica juntos, incluso para los "grandes" de los lenguajes que incluyen una cantidad no numerable de símbolos) y, a continuación, trabajamos en otras teorías dentro del universo de la teoría de conjuntos.

Esta es la teoría de que el universo, no es la teoría del cálculo, de la aritmética, o grupos. Es la teoría subyacente. Y cuando discutimos acerca de los grupos, o acerca de la aritmética, o sobre lo que sea, se argumenta en los correspondientes teorías. Y a veces hacemos argumentos acerca de esas teorías, y un argumento acerca de una teoría es un argumento en el meta-teoría (de ahí el prefijo meta).

Por ejemplo, la instrucción: "teoría de Grupo no prueba la declaración de $\forall x\forall y(x*y=y*x)$" es una declaración acerca de la teoría de grupos, y por lo tanto es una declaración de la meta-teoría. Si o no la meta-teoría de la es $\sf ZF$, o algo más, es irrelevante en este momento. Pero es una declaración acerca de la teoría de grupos.

Pregunta 3: Porque el lenguaje de la teoría de conjuntos es el meta-lenguaje. Cuando queremos hablar de la teoría de los campos que se necesitan dos operaciones y dos constantes de símbolos. Ese es el lenguaje de los campos. El lenguaje de la teoría de conjuntos es el lenguaje del universo subyacente.

Esta pregunta es la misma de la pregunta "Si la CPU funciona con códigos de operación, ¿por qué necesitamos C++, Java, Common Lisp, o Haskell?"

Sí, sin duda podemos expresar las cosas con $\in$. Pero eso sería completamente ocultar cualquier posible significado de cualquier cosa que le gusta escribir, y habría que escribir muy largo, expresiones para casi cualquier cosa.

Pregunta 4: Si estamos de acuerdo en que $\sf ZF$ es la meta-teoría, a continuación, los argumentos son esencialmente son en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por supuesto, no escribimos el formal de expresiones con la $\in$, pero podemos. Es sólo terriblemente largo, y si no estás usando una prueba de asistente es también inútil.

Esta es la razón por la que hemos inglés.