Goldstone ' teorema s, ruptura de simetría y el modelo de Heisenberg

Question

Actualmente estoy investigando ruptura de la simetría y del teorema de Goldstone para un proyecto en mi tercer año de la física teórica grado. Así que mi conocimiento no proviene de una enseñanza formal, sino de mi propia investigación.

Empecé tratando de entender del teorema de Goldstone y por lo que entiendo que es la idea de que si continua la simetría se rompe, se obtiene sin masa campos escalares (bosones de Goldstone). He ido a través de las matemáticas de esto y parece que tiene sentido.

Sin embargo, estoy buscando en el modelo de Heisenberg como una especie de ejemplo del mundo real de Goldstone del teorema y estoy llegando a través de los problemas. Supongo que no tengo una pregunta en sí, sino más mirando a ver si mi interpretación es correcta. Por lo que el modelo de Heisenberg dice que el Hamiltoniano se compone de las tiradas de los vecinos más próximos de una celosía. Claramente este hamiltoniano es simétrico bajo de rotación (si usted girar todas las tiradas por theta, a continuación, la red de energía seguirá siendo el mismo?). El estado sería el estado en el que todos los espines están apuntando en la misma dirección y es evidente que hay un número infinito de estos, ya que puede apuntar en cualquier dirección siempre que todos apunten en la misma dirección. Entonces he escuchado que "elegir" un estado de forma espontánea se rompe esta simetría, es que debido a que ahora se ha derrumbado de un número infinito de posibles estados fundamentales que son invariantes bajo de rotación a un solo estado y, por lo tanto si usted girar todas las tiradas no sería ese estado específico seleccionado? Además, ¿de dónde Goldstone del teorema de venir a este? He oído algo acerca de giro de las ondas, son estos los bosones de goldstone en esta circunstancia?

Espero que alguien pueda ayudar a responder a mis preguntas o me apunte en la dirección correcta. He tratado de explicarme con claridad, ya sea o no que se logró es una historia diferente. Muchas gracias a todos de antemano.

Answer 1

El modelo de Heisenberg es un ejemplo de una excepción a la norma teorema de Goldstone para relativista QFT. En el caso estándar, esperamos que cada ruptura de la simetría de los rendimientos de un sin pausas modo con la dispersión lineal en pequeños momentos. Esto no es cierto en general para los no-relativista de sistemas tales como el modelo de Heisenberg. Considerar el Hamiltoniano \begin{equation} H=-J\sum_{n=1}^N\vec{s}_n\cdot\vec{s}_{n+1}, \end{equation} donde suponemos periódico de las condiciones de contorno $\vec{s}_{N+1}=\vec{s}_1$. Aquí estamos describiendo un giro de la cadena en lugar de un entramado de simplicidad. Desde el Hamiltoniano de las parejas más cercana a los vecinos a través de un punto del producto, el Hamiltoniano se exhibe simetría rotacional sobre el $x$, $y$, y $z$ ejes. El estado fundamental de este sistema dispone de todas las tiradas que apunta en la misma dirección, que vamos a elegir para ser el $+z$ dirección; es decir, \begin{equation} |0\rangle=|\uparrow,...,\uparrow\rangle. \end{equation} Así, el vacío, o el estado del suelo, de la teoría, se ha elegido una dirección preferida en el espacio y se ha roto el original de la simetría rotacional. Más bien, $|0\rangle$ sólo es invariante bajo rotaciones sobre el $z$-eje. Puede comprobar este hecho por sí mismo actuando sobre el estado del suelo con el estándar de SU(2) la rotación de los operadores (uno para cada celosía sitio). Decimos que la original, ASÍ que(3) la simetría ha sido roto a SO(2). Tenemos dos simetrías rotas en este caso, correspondientes a las rotaciones sobre el $x$ $y$ ejes.

Ahora considere el siguiente estado \begin{equation} |k\rangle=\sum_{n=1}^N e^{ikn}|...,\uparrow,\downarrow_n,\uparrow,...\rangle, \end{equation} que es una combinación lineal de los estados con la $n$-th spin volteada hacia abajo. Uno puede mostrar que este estado es una energía eigenstate con la energía de excitación (por encima del suelo del estado) \begin{equation} \Delta_E=\hbar^2J(1-\cos(k)), \end{equation} que es sin pausas y de segundo grado en $k$ pequeña $k$. Esta excitación es conocido como un magnon. Lo curioso es que aquí se rompió dos simetrías, pero solo encontró una sola excitación con cuadrática en lugar de la dispersión lineal. La razón es que los dos simetrías de que rompimos no son independientes ya que los generadores de esas simetrías satisfacer las conocidas relaciones de conmutación \begin{equation} [\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k, \end{equation} de modo que, en particular, \begin{equation} [\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z. \end{equation} Mediante la realización de rotaciones sobre el $x$ $y$ ejes, podemos generar una rotación alrededor de la $z$-eje.

El número de fracturas de los generadores es exactamente igual al número de bosones de Goldstone si \begin{equation} \langle 0|[Q_i,Q_j]0\rangle =0, \end{equation} para todos ruptura de la simetría de los generadores $Q$. Ahora usted puede preguntarse qué es tan especial acerca de la invariancia de Lorentz. Recordemos que el teorema de Noether nos dice que conserva cargos (es decir, la simetría de los generadores) puede ser escrito como la integral de una conserva actual \begin{equation} Q=\int j^0(x) d^3x, \end{equation} mientras que la invariancia de Lorentz exige que la expectativa de los valores de los objetos con conexión de Lorentz índices deben desaparecer \begin{equation} \langle j^0(x)\rangle=0, \end{equation} asegurando de esta manera que el número de bosones de Goldstone es siempre igual al número de ruptura de la simetría de los generadores en una teoría relativista.

Usted puede encontrar la siguiente referencia útil (la fuente de la mayor parte de esta información). Ruptura Espontánea De Simetría

Answer 2

Sí, tienes razón. En este caso, cuando usted elige un estado particular, usted está eligiendo una dirección particular para todas las vueltas a punto. Excitaciones de este estado, es decir, las ondas en el que los espines de las partículas oscilan de la dirección de Estado elegido, son los bosones de Goldstone.