Recurrencia de ergódico

Question

Mi solución al problema de un problema sobre ergódica recurrencia requiere me prueban que $\|P_T 1_B\| > 0$.

Donde la proyección en el espacio $P_T$ $I := \{f \in L^2 : f \circ T = f\}$, $T$ es una medida de preservación de mapas (para todas las $B$ mensurable $\mu(T^{-1} B) = \mu(B)$) y $B$ es de medida positiva.

¿Puede apuntar alguien mi por qué $\|P_T 1_B\|$ debe ser estrictamente positivo? Si es en $1_B$ $I$ entonces tendría que $T^{-1} B = B$ que probablemente no es el caso.

Answer 1

No importa si $B$ es invariante o no, sólo tiene que ser de medida positiva, por lo que su función característica $[B]$ es distinto de cero en $L^{2}$. Supongo que el $X$ es un espacio de medida finita (tan $[X] \in L^{2}$) y que $T: X \to X$ es una transformación medida-que preserva.

Claramente, $P_{T}[X] = [X]$, por lo que \ [0 < \mu(B) = \langle [B], [X] \rangle = \langle [B], P_ {T} [X] \rangle = \langle P_ {T} [B], [X] \rangle \] en $P_{T}^{\ast} = P_{T}$ en la última ecuación, por lo tanto, $P_{T}[B] \neq 0$ $L^{2}$.