Razona si es cierto que:

Question

Para aclarar, $A^c$ se refiere a la transposición de $A$ mientras $\mathcal{P}(A)$ se refiere al juego de poder de $A$.

Yo estaba practicando, tratando de responder a esta pregunta y yo estaba confundido en cuanto a si que yo pueda aplicar la lógica que desde $A^c = U - A$,

deje $X$ ser un elemento arbitrario de $\mathcal{P}(A^c)$, por lo que,

$X$ es un subconjunto de a $A^c$ y ya $A^c = U-A$, $X$ es un subconjunto de a $U-A$. Después de esto, la parte principal de que yo tenía un problema con es si es correcto decir que desde $X$ es un elemento de $\mathcal{P}(U-A)$ , $X$ es un elemento de $\mathcal{P}(U) - \mathcal{P}(A)$. Además, si la declaración inicial no es cierto, ¿cómo habría de proporcionar un contraejemplo?

Answer 1

Que $U=\{a,b,c\}$ y que $A=\{a\}$. $\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)$ Contiene el conjunto de $\{a,b\}$, que no es parte del $\mathcal{P}(A^c)$.

Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es no.

Answer 2

$$\emptyset \in \mathcal{P}(A^c)$ $ $$ \emptyset \in \mathcal{P}(A) \implies \emptyset \notin \mathcal{P}(U) - \mathcal{P}(A)$ $ Así: $$ \mathcal{P}(A^c) \neq \mathcal{P}(U) - \mathcal{P}(A)$ $

Answer 3

También se puede ver esto por un argumento de conteo si $U$ es finito. Si $|U|=n$, entonces el $|\mathcal P(U)|=2^n$ y si $|A|=k$, entonces el $|\mathcal P(A)|=2^k$. Entonces

$$|\mathcal P(A^c)| = 2^{n-k}, |\mathcal P(U)-\mathcal P(A)| = |\mathcal P(U)|-|\mathcal P(A)| = 2^n-2^k=2^k(2^{n-k}-1)$ $ Son diferentes a menos que $(n,k)=(2,1)$ - en otras palabras, sus juegos son casi siempre diferentes!