¿Por qué es la topología restringida producto directo del grupo idele más fuerte que la topología inducida por el grupo de adele?

Question

Estoy confundido por el dicho de que el restringido producto directo de la topología en la idele grupo es más fuerte que la topología inducida por la adele grupo. Y tal vez este es elaborado por el siguiente ejemplo

Deje $p_n$ $n$- th positivo prime en $\mathbb{Z}$, y deje $\alpha^{n}=(\alpha^{(n)}_v)\in\mathbb{A}_\mathbb{Q}$ con $\alpha^{(n)}_v=p_n$ si $v=p_n$ $\alpha^{(n)}_v=1$ si $v\neq p_n$. El resultado es una secuencia $\{\alpha^{n}\}$ de ideles en $\mathbb{I}_\mathbb{Q}$. Luego de esta secuencia converge a la idele $(1)_v$ en la topología de la adeles pero no converge en la topología de la ideles.

Cualquier comentario se agradece!

Answer 1

Primero de todo, la razón por la que podemos definir la ideles y los adeles en el primer lugar es para que podamos estudiar la teoría de números el uso de un local-global principio. Dos de las consecuencias de la definición más restringida de producto:

• Un carácter $\chi$ es trivial en todos excepto un número finito de componentes, y por lo que podemos escribir $\chi=\otimes'\chi_\nu$; por el contrario, una familia de caracteres $\{\chi_\nu:\mathbb{Q}_\nu\to\mathbb{C}^\times\}$ de manera tal que un número finito son triviales permite definir un personaje como el anterior.
• Del mismo modo, se puede construir una medida de la adeles (o el ideles) mediante (normalizado) medidas en cada componente.

Ahora, debido a la ideles forman un subconjunto de los adeles, hay dos candidatos para la topología, y que no son equivalentes, ya que su ejemplo se muestra. Básicamente, para que la secuencia de construido, $\alpha_{p_n}^{(n)}=p_n$ no es una unidad (aunque adele $\alpha^n$ es un idele) y, por tanto, lo suficientemente pequeño barrio de la identidad en $\mathbb{I}_\mathbb{Q}$ no contienen la secuencia. Por lo tanto, la idele topología es más fuerte que la relación de la topología.