Cada múltiple admite un campo del vector con solamente finito muchos ceros

Question

Deje $M$ ser un suave colector. Estoy tratando de demostrar que $M$ admite un campo de vectores con sólo un número finito de ceros.

Esto va a seguir si podemos encontrar una función $f : M\rightarrow \mathbb R$ tal que $df$ tiene sólo un número finito de ceros, pero no puedo encontrar una función con esta propiedad. Mi idea inicial era tratar de incrustar $M$ $\mathbb R^N$ algunos $N$ y ver el $x\mapsto u \cdot x$ fijos $u\in \mathbb R^N$, pero no pude encontrar una forma de demostrar que debe haber un $u$ de manera tal que el diferencial de este mapa tiene sólo un número finito de ceros.

¿Alguien tiene una escuela primaria construcción de un campo vectorial (o función)?

Answer 1

He aquí una divertida prueba que emplea el teorema de Transversalidad, para mostrar que en cualquier liso colector $M$, existe un campo de vectores que se desvanece sólo en un $0$-dimensiones submanifold de $M$. Por supuesto, cuando se $M$ es compacto, todos los $0$-dimensiones submanifold es finita, lo que le da el resultado deseado.

Suponer sin pérdida de generalidad que $M^n$ está incrustado en $\mathbb{R}^N$$N>n$. Definir un mapa de $F:X\times \mathbb{R}^N\to TX$$F(p,v)=\text{proj}_{T_pM}v$. A continuación, $F$ es un buen inmersión. En particular, $F$ es transversal a $Z=X\times \{0\}$. Por lo tanto, por el teorema de transversalidad, existe alguna $v\in \mathbb{R}^N$, de modo que $f_v(x):X\to TX$ es transversal a $Z$. Ahora, $f_v(x)$ es un buen sección de $TX$, y por lo $f_v$ es un campo de vectores. Por lo $f_v^{-1}(X\times \{0\})$-los ceros de $f_v$-es un submanifold de $X$ de codimension $\dim TX-\dim X\times \{0\}=X$, como se reivindica.

Answer 2

Un método clásico - creo que de Steenrod - es triangular el colector entonces forma el campo vectorial cuyas singularidades son los baricentros de la triangulación. Por ejemplo en un triángulo el campo fluye lejos del baricentro del triángulo a los vértices y los centros de los bordes. a lo largo de los bordes, el campo fluye alejados de los centros hacia los vértices. Haz un dibujo. Es fácil de ver.

Answer 3

Nuevamente este argumento utiliza un resultado altamente no trivial, pero por el teorema de Poincare-Hopf es igual que el Euler característico de la variedad, que siempre es finito el número de ceros de un campo vectorial en un múltiple compacto (cuando cuentan con multiplicidades).