¿El mapa $f\colon\mathbb{A}^2_k\to\mathbb{A}^2_k$ de $f(x,y)=(x,xy)$ es birracional?

Question

Estoy leyendo un poco acerca racional de los mapas, y todavía estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor de birational mapas.

Considerar el mapa de $f\colon\mathbb{A}^2_k\to\mathbb{A}^2_k$ sobre el afín $2$-espacio de más de $k$ algebraicamente cerrado, definido por $f(x,y)=(x,xy)$. Creo que este mapa es regular, por lo tanto, una racional mapa. Al parecer, esta es también una birational isomorfismo.

Yo calcula la inversa de la mapa se define por $f^{-1}(u,v)=(u,v/u)$. Sin embargo, creo que el dominio de definición de $f^{-1}$ $\mathbb{A}^2\setminus\{(0,y):y\in k\}$ desde $u$ no puede ser cero. Es este el correcto dominio de definición, o puede ser extendido a todos los de $\mathbb{A}^2_k$ de alguna manera? Yo pensaba que el dominio tendría que ser todos los de $\mathbb{A}^2_k$ para que sea racional inversa. También, probablemente, claro, pero ¿por qué es $f^{-1}$ racional mapa?

Gracias por tus explicaciones.

Answer 1

Tienes razón cuando afirman que el mapa de $f$ es un mapa: en realidad (las cosas que usted tiene que comprobar pueden variar un poco, dependiendo de donde usted está estudiando), si consideramos que cada componente de la función, esto es sólo una función regular (porque es un polinomio).

También es cierto lo que dices, que cada mapa es racional. La inversa es, de hecho, el mapa en el que se calcula. El dominio de definición es, de hecho, toda la llanura menos el eje $x=0$. Esta es la definición de un racional mapa: un mapa que sólo se define en un conjunto abierto y no en todo el espacio, por lo $f^{-1}$ es un racional mapa. Por lo tanto $f$ es un mapa, pero sólo se admite un racional inversa. Algunos libros se refieren a estos mapas como "racional morfismos". Más generalmente, como la $f$ es también racional de mapa, se puede decir que es un birational mapa.

Una razón para convencerte de que la función de $f^{-1}$ (vamos a llamar a $g$) no es regular puede venir de álgebra: usted sabe que un mapa entre afín variedades corresponde a un anillo homomorphism entre los anillos de funciones regulares, con invertida flechas. En este caso, el mapa de $g:(\mathbb{A}^2-Z(x))\to \mathbb{A}^2$ corresponde a los morfismos \begin{equation} g_*:\mathcal{O}(\mathbb{A}^2)=k[x,y]\to k[x,y]_x=\mathcal{O}(\mathbb{A}^2-Z(x)) \end{equation} que envía a$x$$x$$y$%#%. Para comprobar esto, recordar las propiedades de la correspondencia: tenemos $y/x$ por cada función regular $g_*h=h\circ g$ en el avión. Se ve entonces que no hay ninguna esperanza para ampliar el mapa para todo el avión, ya que significaría que el anillo homomorphism tierras en la copia de $h$ que vive en el interior de $k[x,y]$, lo cual no es cierto.