¿Es esto correcto?
Sí, la teoría de Galois infinita proporciona una biyección entre subcampos de $\overline{\mathbb Q}$ y subgrupos cerrados de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ . Como todo subgrupo abierto de un grupo topológico es cerrado, y los subgrupos abiertos tienen todos índice finito en $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ , ambas afirmaciones son correctas.
¿Cómo encaja esto con los hechos anteriores? ¿Significa esto que $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p) \cong \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/K)$ para algunos $K$ ?
El grupo $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)$ puede verse como un subgrupo de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ de la siguiente manera. Fijar una incrustación de $\overline{\mathbb Q}\hookrightarrow \overline{\mathbb Q}_p$ . Entonces hay una inclusión $$ \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)\hookrightarrow\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)\\\sigma\mapsto\sigma|_{\overline{\mathbb Q}}$$
Elegir una incrustación $\overline{\mathbb Q}\hookrightarrow \overline{\mathbb Q}_p$ es lo mismo que elegir un primo $\mathfrak p$ de $\overline{\mathbb Q}$ que se encuentra encima de $p$ . En particular, podemos identificar $ \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)$ con el grupo de descomposición $$D_\mathfrak p :=\{\sigma\in\ \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q):\sigma(\mathfrak p) = \mathfrak p\} \subset\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q).$$
De forma análoga a la situación finita, el campo fijo $\overline{\mathbb Q}^{D_\mathfrak p}$ puede identificarse con la extensión máxima $K$ de $\mathbb Q$ tal que $\mathfrak p\cap K$ no está ramificado y el campo de residuos $\mathbb F_{\mathfrak p\cap K}=\mathbb F_p$ .
El problema de este enfoque es que es completamente no canónico y depende totalmente de la elección del primo que hayamos escogido de $\overline{\mathbb Q}$ que se encuentra en la parte superior $p$ . En la práctica, es mejor pensar en $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ como un subgrupo de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ que está bien definida hasta la conjugación: análogamente al caso finito, para diferentes elecciones de primos $\mathfrak {p,p}'$ , $D_\mathfrak p$ y $D_{\mathfrak p'}$ será conjugado en $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ .
Además, ¿cuáles son sus subgrupos no abiertos? Supongo que esto incluye los grupos de Galois $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ .
Hay muchos subgrupos no cerrados y no abiertos, y no son fáciles de describir. Sin embargo, los grupos $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ debe ser visto como cocientes de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ y no como subgrupos.
