Problema fórmula discriminante

Question

Podría por favor explicar para mí, ¿cómo obtener la fórmula del discriminante? ¿Cómo puedo visualizar cualquier artículos, conferencias?

Puedo memorizar $b^2 - 4ac$ pero, quiero entenderlo.

Gracias.

Answer 1

Desea resolver %#% $ #%

En primer lugar, se divide en $$ax^2+bx+c=0$. Entonces, restamos el término constante en el lado izquierdo.

$a$$

Ahora, agregar $$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$ conseguir un binom en el lado izquierdo

$(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}$$

Así pues, tenemos

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

Así pues, tenemos %#% $ #%

Restando el $$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ conduce a la fórmula conocida.

Verás, cómo se combina $$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Answer 2

Usted tiene aquí muchas de las respuestas que ilustran lo que es el discriminante de segundo grado del polinomio, por lo que quiero sugerir una visión general.

Se puede ver que, si $x_1,x_2$ son las raíces del polinomio de la discriminación $\Delta$ es: $$\Delta= b^2-4ac=a^2(x_1-x_2)^2$$ donde $a$ es la principal coeficiente del polinomio.

Así, el discriminante es una función del coeficiente que resulte nula si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples.

Esta es una propiedad muy importante, ya que podemos definir un discriminante, con esta misma propiedad, también para los polinomios de cualquier grado.

Desde que usted se pregunte acerca de algunas conferencias, usted puede comenzar a partir de aquí, y ver cómo esta noción de determinat puede ser definido general de los polinomios.

Answer 3

En mi humilde opinión el discriminante es más fácil de comprender en el caso de que $a=1$ (es decir, que su polinomio cuadrático es monic es decir, de la forma $x^2+bx+c$). En este caso, el discriminante (como saben) es $b^2-4c$. Pero su verdadero significado es este:

Es el cuadrado de la diferencia entre el polinomio de dos raíces!

En otras palabras: $x^2+bx+c$ factores $(x-\alpha)(x-\beta)$ para algunos números de $\alpha$$\beta$, y el discriminante es en realidad $(\alpha-\beta)^2$.

Lo puedes ver en el siguiente cálculo.

$$(x-\alpha)(x-\beta) = x^2 - (\alpha+\beta)+\alpha\beta$$

Así que si este es igual a $x^2 + bx + c$, significa que $b = -(\alpha+\beta)$$c = \alpha\beta$. A continuación,$b^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta+\beta^2$, e $b^2 - 4c$ es

$$(\alpha^2 + 2\alpha\beta+\beta^2) - 4\alpha\beta = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$$

Pero esto es $(\alpha-\beta)^2$!

Algunos comentarios:

(1) Si las raíces $\alpha,\beta$ son reales, esto significa que la parábola $y=x^2+bx+c$ aciertos $x$-eje en estos puntos, por lo que el discriminante es, literalmente, diciendo que el cuadrado de la distancia entre ellos.

(2) Aquí es una manera de ver cómo el discriminante $\Delta = b^2 - 4c$ se muestra en la fórmula cuadrática:

Por el cálculo anterior, la suma de $\alpha + \beta$ de las raíces es $-b$. Mientras tanto, debido a $\Delta = (\alpha-\beta)^2$, significa $\sqrt{\Delta}$ es (más o menos) $\alpha - \beta$. Por lo $\alpha$ $\beta$ son dos números de los que tenemos la suma de ($-b$) y la diferencia ($\sqrt{\Delta}$). Podemos extraer $\alpha,\beta$ sí resolviendo el sistema lineal:

$$\alpha + \beta = -b$$ $$\alpha - \beta = \sqrt{\Delta}$$

Sumando las dos ecuaciones obtenemos $2\alpha = -b+\sqrt{\Delta}$, en otras palabras, $\alpha = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2}$. Restando ellos, obtenemos $2\beta = -b-\sqrt{\Delta}$, es decir,$\beta = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2}$.

Answer 4

Es una consecuencia de completar el cuadrado de la cuadrática $ax^2+bx+c=0$ que es:

$$a\left(x+\frac{b}{2a}\right) ^ \left(\frac{b^2}{4a}\right) 2 + c = 0 $ o:$$ \left(x+\frac{b}{2a}\right) ^ 2 = \left(\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac {c} {a} $$ que sólo tiene una solución real cuando el lado derecho es mayor o igual a cero (porque el lado izquierdo es el cuadrado de un número real y por lo tanto es no negativo) , que sólo es cuando $b^2-4ac\ge0$, que es el discriminante.

Answer 5

Usted debe haber visto un método llamado "completar el cuadrado" antes de que usted vio la fórmula cuadrática en la escuela de derecho? Este es, de dónde viene, de hecho, si usted sabe cómo completar el cuadrado, se puede derivar la totalidad de la fórmula cuadrática en su propio.

Considere la ecuación cuadrática que estás acostumbrado a $$ax^2 + bx + c = 0.$$

Para completar el cuadrado tenemos el coeficiente de $x^2$ (el término en frente de $x^2$, es decir, el $a$)$1$, por lo que debemos dividir ambos lados por $a$. (Si $a = 0$, entonces la ecuación no es una ecuación cuadrática y de hecho tenemos $bx + c = 0$, que se puede resolver fácilmente). Esto nos da: $$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.$$

Ahora podemos completar el cuadrado como de costumbre: $$\Bigg(x + \frac{b}{2a}\Bigg)^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2} = 0.$$

Ahora tenemos que hacer $x$ el tema:

$$\begin{align}\Bigg(x + \frac{b}{2a}\Bigg)^2 &= -\Bigg(\frac{c}{a} - \frac{b^2} {4a^2}\Bigg)\\ \Bigg(x + \frac{b}{2a}\Bigg)^2 &= -\Bigg(\frac{4ac}{4a^2} - \frac{b^2} {4a^2}\Bigg)\\ \Bigg(x + \frac{b}{2a}\Bigg)^2 &= -\Bigg(\frac{4ac - b^2} {4a^2}\Bigg)\\ \Bigg(x + \frac{b}{2a}\Bigg)^2 &= \Bigg(\frac{b^2-4ac} {4a^2}\Bigg)\\ x + \frac{b}{2a} &= \pm\sqrt{ \Bigg(\frac{b^2-4ac} {4a^2} \Bigg) }\\ x + \frac{b}{2a} &= \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x &= -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \end{align}$$

Finalmente, la parte de la raíz cuadrada es el discriminante.